Wie kann man die Nullstellen berechnen wenn der Exponent von x höher ist als 2 z.b.:x^6+5x^5-8x^4-48x^3. Ich bitte um schnelle Antwort!Danke;) ?

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2 Antworten

In dem Fall kannst du x erstmal ausklammern (bzw. hier sogar x³):

0=x³(x³ + 5x² - 8x - 48).

Damit hast du deine Erste Nullstelle bei x=0, da die rechte Seite 0 wird, sobald x³ null ist.

danach musst du nur noch mit dem Inhalt der Klammer weiterrechnen:

0= x³ + 5x² - 8x - 48

Jetzt hast du immer noch x³ stehen. Hier wird es jetzt komplizierter, da du nicht weiter kürzen kannst.

Der Weitere Schritt ist eine Polynomdivision, für diese musst du aber eine Nullstelle kennen um die übrigen zu bestimmen. Diese findest du nur durch ausprobieren. In diesem Fall haben probieren wir erstmal die natürlichen Zahlen, haben Glück und die 3 passt.

Die Methode für die Polynomdivision entspricht der des schriftlichen Dividierens aus der Grundschule, nur dividiert man statt Zahlen Terme.

Aufgrund der bekannten Nullstelle bei x=3 dividieren wir den gesamten Term durch x-3:

  (x³ + 5x² - 8x -48) : (x-3) = x² + 8x + 16
-(x³ - 3x²)
       -(8x² - 24x)
               -(16x - 48)

Das Verfahren zu erklären würde jetzt hier den Rahmen sprengen, schau dir bitte dieses Video an:

http://www.matheretter.de/grundlagen/kubische-gleichungen

Jedenfalls erhällst du jetzt eine quadratische Gleichung und die ist ja bekanntlich lösbar mit pq-Formel.

Deine Nullstellen sind hier -4;0;3

Hallo,

in diesem Fall kannst Du erst einmal x^3 ausklammern, was das Problem auf ein Polynom dritten Grades reduziert. Das kannst Du mit Hilfe der Cardanischen Formel oder mit einem Näherungsverfahren wie dem Newton-Verfahren oder durch Erraten einer Nullstelle mit anschließender Polynomdivision lösen.

Für Polynome höher als Grad 4 und einem absoluten Glied gibt es dagegen keinen Lösungsalgorithmus. Hier helfen nur noch Näherungsverfahren und die Reduzierung auf Polynome niedrigeren Grades durch Polynomdivision.

Zum Beispiel ax^5+x^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 ist auf triviale Art nicht lösbar.

Für Polynome dritten und vierten Grades dagegen gibt es Lösungsalgorithmen (Cardanische Formeln) die Kenntnisse im Umgang mit komplexen Zahlen erfordern.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Paulosaurus
06.10.2016, 18:29

alles klar vielen dank dies geht nur mit polynomdivision und wie kann ich ihnen die hilfreichste Antwort geben;)Wir haben Polynomdivision nicht gemacht und in meinem Lehrbuch stand die Lösung auch folgend:

(x^4-3x^3)*(x+4)^2

Mir ist dann grade aufgefallen, dass man doch eig ganz einfach ablesen kann also die Nullstellen betragen doch dann X=3 und X=-4, diese Lösungen entsprechen auch denen die meine Lehrerin mir gegeben hat, bei ihrer Lösung war nur noch eine Nullstelle X=0 diese habe ich aber nicht erkannt wo kann ich die sehen Danke

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Kommentar von Willy1729
06.10.2016, 18:38

Bei Deinem Beispiel gibt es drei reelle Nullstellen:

x1=3

x2=-4 (doppelte Nullstelle)

x3=0 (dreifach, wegen x^3=0)

Berechnet mit Hilfe der Cardanischen Formel. Da die Determinante in diesem Fall gleich Null ist, ist die Rechnung relativ einfach.

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