Haben alle quadratische Funktionen Nullstellen?
Hi ich habe die Funktion f(x)= 5x²+3x+5 und wenn ich dann die Nullstellen berechnen will habe ich 0=x²+3/5x+1 und in der pq-Formel kommt eine negative Zahl unter der Wurzel raus und deswegen kriege ich in meinem Taschenrechner einen Math-Error. Deswegen meine Frage: Haben alle quadratischen Funktionen Nullstellen oder gibt es auch welche ohne wie mein Bsp. Danke im Voraus!
11 Antworten
Ja, alle quadratischen Funktionen haben Nullstellen, allerdings haben manche Funktionen keine reelen Nullstellen sondern imaginäre (bzw komplexe).
Bsp.:
x²+1 = f(x)
x²+1 = 0 -1
x²=-1 \Wurzel
Wurzel aus -1 = x
i = x1
-i= x2
Aber in der Schule kommt das glaube ich nicht dran, da gilt wenn die Zahl unter der Wurzel negativ ist gibt es keine Nullstelle.
Bsp.: x²+1 = f(x) hat auf dem niveau der Schule keine Nullstelle
Genau das dachten sich einige Menschen im 16. Jahrhundert ...
Aber wir haben uns weiterentwickelt!
Eine imaginäre Zahl quadriert ergibt ein negatives Ergebnis:
i² = -1
siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl
Die Frage ist nicht OB Nullstellen (denn alle Polynome - egal ob Grad 2 wie bei Dir, oder Grad n - haben Nullstellen), sondern ob die Nullstellen reell oder komplex sind!
Unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php
kann man sich alle Nullstellen online (bis Grad 4 mit exakter expliziter Formel) berechnen lassen:
Grad 2: pq-Formel
Grad 3: kubische Gleichung per PQRST
Grad 4: PQRSTUVW - Formel
Wenn Ihr noch keine komplexen Zahlen hattet (z.B. Wurzel aus negativer Zahl), möchte ein Lehrer die Antwort NEIN, wenn innerhalb der Wurzel eine negative Zahl erscheint.
Ein echter Mathematiker rechnet mit komplexen Zahlen weiter. (oft wird ein Ergebnis wieder reell -> z.B. wenn man die Probe macht: beim Einsetzen der Nullstelle für x -> kommt das reelle Ergebnis 0 heraus.
Hinweis: richtig: "meinem Taschenrechner ... Error" -> gute Taschenrechner können das!
Nein, nicht jede quadratische Funktion hat auch Nullstellen.
Kleiner Vereinfachungs-Trick: Du musst schauen, ob du eine positive oder negative Funktion hast... Deine ist positiv (5x²), also nach oben geöffnet. Deine Funktion berührt also die x-Achse und besitzt eine Nullstelle (nämlich den Scheitel). Wenn du jetzt noch eine Verschiebung nach oben hast (in deinem Fall +5), dann berührt der Graph die x-Achse nicht.. ... Hast du eine Verschiebung nach unten (also Beispielsweise -5), dann schneidet dein Grap die x-Achse zweimal und besitzt somit 2 Nullstellen.
Wenn du eine negative Funktion hast (-5x²), dann ist diese nach unten geöffnet und besitzt auch eine Nullstelle (nämlich den Scheitel). Wenn der Graph noch nach unten verschiebst, dann berührt er die x-Achse nicht und hat somit keine Nullstelle. Wenn du diesen aber nach oben verschiebst, dann schneidet er die x-Achse zweimal und besitzt somit 2 Nullstellen. :D
Das ist leider so nicht richtig. Wenn du eine nach oben geöffnete Funktion hast, und der Scheitel oberhalb der x-Achse liegt, dann hat man keine Nullstelle.
Gleiches gilt natürlich für nach unten geöffnete Funktionen.
Grundsätzlich gilt: Eine quadratische Funktion kann 0, eine oder zwei Nullstellen besitzen (auf den reellen Zahlen).
Hab ich doch geschrieben... wenn man bei einer nach oben geöffneten Parabel am Schluss noch +Irgendwas hinschreibt, dann ist sie nach oben verschoben und hat somit keine Nullstelle.. Musst alles lesen ;)
Huch? Ich habe eigentlich noch etwas ergänzt, das nicht angezeigt wird... :/ Mir ist schon klar, dass das +3x auch was zutun hat... Aber ich wollte es nur der Einfachkeit halber so erklären :D
Diese Vereinfachung stimmt aber einfach nicht. Gegenbeispiel:
y = x² + 5x +4
ist nach oben geöffnet und scheint nach oben verschoben (+4; in Wahrheit ist die Funktion nach unten verschoben). Sie hat aber die (reellen) Nullstellen
x1 = -1 und x2 = -4
Ich beschränke mich auf reelle Nullstellen (über imaginäre Nullstellen findest du etwas bei jorgang und hypergerd, aber nach dem Stil deiner Frage glaube ich nicht, dass das dein Problem ist).
Zeichnungen wie bei xLukas123 sind immer eindeutig, aber auch aufwändig und nicht immer durchführbar. Es geht auch mit Rechnung.
Sei ax² +bx +c = 0 eine quadratische Gleichung (1). Dann heißt
D = b² - 4ac die Diskriminante (lateinisch; = "die (Fälle) Unterscheidende").
Die Gleichung hat
genau dann zwei reelle Lösungen, wenn D > 0;
genau dann eine reelle Lösungen, wenn D = 0;
genau dann keine reelle Lösungen, wenn D < 0.
Verbindung: In der abc-Formen ( = "Mitternachtsformel") zur Lösung der Gleichung (1):
x1,2 = ( -b ± √ (b² -4ac) ) / (2a)
steht die Diskriminante unter der Wurzel.
Für D > 0 ist die Wurzel eine reelle Zahl, und es gibt zwei reelle Lösungen;
für D = 0 ist die Wurzel = 0, und es gibt eine reelle Lösung;
für D < 0 ist die Wurzel keine reelle Zahl, und es gibt keine reelle Lösung.
ich finde das interessant würdest du mir deswegen eine frage beandworten? eine negative zahl unter der wurzel kann man doch nicht ausrechnen, weil wenn man rückwärts denkt wird eine negative zahl ^2 positiv, oder?