Wie kann man das Lösen?
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In der Medizin verwendet man bei PET-Unter-
suchungen häufig das Radionuklid Technetium-99,
da es eine geringe Halbwertszeit aufweist.
Bereits nach einem Tag sind nur noch 12,5 %
davon im Körper vorhanden.
a) Bestimme die Halbwertszeit!
b) Berechne, nach wie vielen Tagen weniger als 1%
der Ausgangsmenge vorhanden ist.
Check ich nicht
1 Antwort
a) Um die Halbwertszeit von Technetium-99 zu berechnen, können wir die folgende Formel verwenden:
N(t) = N0 * 0,5^(t / T)
Dabei steht N(t) für die Menge des Radionuklids zum Zeitpunkt t, N0 für die Ausgangsmenge, T für die Halbwertszeit und 0,5 für den Faktor, um den die Menge in jeder Halbwertszeit abnimmt.
Wir wissen, dass nach einem Tag nur noch 12,5 % der Ausgangsmenge vorhanden sind. Das bedeutet:
N(t) = N0 * 0,125
0,125 = 0,5^(1/T)
Wir müssen nun T aus dieser Gleichung lösen:
ln(0,125) = ln(0,5^(1/T))
ln(0,125) = (1/T) * ln(0,5)
T = - ln(0,5) / ln(0,125)
T ≈ 6,94 Tage
Also beträgt die Halbwertszeit von Technetium-99 etwa 6,94 Tage.
b) Um zu berechnen, nach wie vielen Tagen weniger als 1 % der Ausgangsmenge vorhanden ist, können wir die Formel für N(t) erneut verwenden und sie nach t auflösen:
N(t) = N0 * 0,5^(t / T) < 0,01 * N0
0,5^(t / T) < 0,01
t / T < log(0,01) / log(0,5)
t < (ln(0,01) / ln(0,5)) * T
Wir setzen nun T = 6,94 Tage ein:
t < (ln(0,01) / ln(0,5)) * 6,94 Tage
t ≈ 23,13 Tage
Also ist nach etwa 23,13 Tagen weniger als 1 % der Ausgangsmenge von Technetium-99 im Körper vorhanden.
