Wie kann es mehr Dezimalzahlen als natürliche Zahlen geben?
Hallo,
sowohl die Dezimalzahlen als auch die natürliche Zahlen sind zahlenmäßig unendlich. Dennoch wird gesagt, dass es mehr Dezimalzahlen gibt. Das erscheint mir unlogisch...
Kann mir das bitte jemand erklären?
Gruß
Idence
9 Antworten
Hallo Fragens,
ich habe da gerade mal etwas drüber nachgedacht.
Mit unserer an Endlichkeiten gewohnten Alltagswahrnehmung kommen wir da ganz leicht an ein 'Dilemma'.
Beispiel:
Unser Zahlensystem zeigt uns leicht, dass es die Möglichkeit für unendlich viele Zahlen beinhaltet. Zum Beispiel Natürliche Zahlen. Zwischen zwei benachbarte natürliche Zahlen passen nun jedoch wieder unendlich viele Dezimalzahlen.
Und da reibt man sich doch erst mal die Augen. Frage: Darf man nun hergehen, und eine Rechnung aufmachen, die die Anzahle der natürlichen Zahlen in ein Verhältnis mit der der Dezimalzahlen setzt? Da kann dann nur 1 herauskommen. Unendlich geteilt durch unendlich …. oder ist das Ergebnis dann nicht 1 sondern wieder unendlich?
Lustig.
Anderes Beispiel:
Die Planckzeit wird mit 10^-44 Sekunden angegeben. Da gibt es noch einen Vorfaktor, den können wir hier vernachlässigen. Das ist eine enorm kurze Zeitspanne, die dennoch nicht null ist.
Und nun kommt's: Zwischen diese Zeitspanne und null passen immer noch unendlich viele Größenordnungen der 'Kleinheit'.
Was sieht man daraus? Ich denke, man kann sich bei Unendlichkeiten jeden Mengenvergleich sparen.
Lieber Gruß
G.H.
Das ist in der Tat auch unlogisch. Mathematisch gesehen, sind beide Mengen gleichmächtig.
Man spricht in der Mengentheorie auch von "Mächtigkeit" und "Abzählbarkeit". Abzählbar ist eine Menge dann, wenn man jeder natürlichen Zahl auch eine Zahl der Menge zuweisen kann, ungefähr wie ein Index.
Die rationalen Zahlen (alle Brüche, endliche Dezimalzahlen oder periodische Dezimalzahlen) sind so eine abzählbare Menge. Jeder rationalen Zahl kann man (zB mittels einer diagonalen Matrix) einen Index aus der Menge der natürlichen Zahlen zuweisen, somit ist die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig der Menge der natürlichen Zahlen obwohl es auf den ersten Blick nicht so scheint.
Cantor hat das mit dem Diagonalisierungsbeweis bewiesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument
https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbare_Menge
Btw: Für irrationale Zahlen ist dies nicht mehr gegeben: https://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zweites_Diagonalargument
Rechnen mit "unendlich" hat so seine Tücken! Du willst eigentlich die Mächtigkeit der beiden Mengen vergleichen. Die der natürlichen Zahlen ist "abzählbar unendlich", die der reellen Zahlen (die du als "Dezimalzahlen" bezeichnest) ist "überabzählbar unendlich".
Den Beweis dafür macht man indirekt: angenommen, es gäbe nur abzählbar unendlich viele Dezimalzahlen. Das heißt, dass du eine Reihenfolge aufstellen kannst, mit der du früher oder später an jeder Dezimalzahl vorbeikommst. Die schreibst du nacheinander auf. Wenn man von den Zahlen zwischen 0 und 1 ausgeht, sieht die Liste vielleicht so aus:
0.000000000
0.100000000
0.010000000
...
Jetzt bildest du eine neue Zahl folgendermaßen:
1) Betrachte die erste Zahl in deiner Liste oben, und von der die erste Nachkommastelle. In diesem Fall ist das eine 0. Füge an der ersten Nachkommastelle deiner neuen Zahl eine Ziffer ein, die davon verschieden ist (also 1, 2, .. .etc. 9, aber eben nicht die Null), zum Beispiel die 5.
2) Verfahre genauso mit deiner zweiten Zahl auf der Liste oben und der zweiten Nachkommastelle deiner neuen Zahl. Wiederum nimmst du eine Ziffer, die von der zweiten Nachkommastelle der Zahl in deiner Liste verschieden ist.
3) Und so weiter.
Die Zahl, die du damit konstruierst, ist damit in mindestens einer Stelle verschieden von jeder Zahl auf deiner Liste. Damit hast du eine Zahl konstruiert, die der Voraussetzung an deine Liste, ALLE Dezimalzahlen aufzulisten, widerspricht. Damit kann die Menge der Dezimalzahlen nicht abzählbar sein.
Das ganze heißt in der Mathematik "Diagonalfolgenargument".
Der Ausdruck ist praktisch falsch, wenn man die gesamte Menge betrachtet. Da spricht man dann von der Mächtigkeit und nicht von einem direkten Anzahlvergleich.
Das sieht dann natürlich anders aus, wenn man eine durch Minimum und Maximum definierte Teilmenge daraus anschaut. Dann kommt man zu einer endlichen Zahl an natürlichen Zahlen und die Dezimalzahlen bleiben trotzdem unendlich viele.
Also wenn du die Rationalen Zahlen und die natürliche Zahlen vergleichst, sind sie gleich mächtig. Das bedeutet es existiert eine Abbildung, die jeder Natürlichen Zahl eine Rationale Zahl zuordnet, die sogar umkehrbar ist.
Beide Mengen sind abzählbar unendlich.
Die Irrationalen zahlen, welche auch zu den Dezimalzahlen gehören, sind hingegen überabzählbar unendlich. Sie sind somit mächtiger als die Natürlichen Zahlen