Wie gleichmäßige Konvergenz zeigen?
(Eine Funktionenfolge (f_n) konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f, wenn der größte Abstand von f_n und f gegen 0 konvergiert.)
Hat jemand einen Ansatz, wie man für folgende Funktionenfolge gleichmäßige Konvergenz widerlegt?
Es liegt punktweise Konvergenz gegen f(x)=0 vor, also muss man nur widerlegen, dass es nicht gleichmäßig gegen 0 konvergiert.
2 Antworten
Du kannst eine Folge x_n definieren, so dass f_n(x_n) gegen unendlich geht, was der gleichmäßigen Konvergenz widersprechen würde.
Als Kandidat für x_n bietet sich der Ort des relativen Maximums an, x_n = 1/Wurzel (2n+1). Aber das ist nur eine Möglichkeit von vielen. 1/n^2 ginge auch, wobei f_n(x_n) dann gegen eine konstante ginge.
Der Knackpunkt liegt in einer Umgebung der 0. Die Funktionenfolge konvergiert ja offensichtlich gegen f(x) = 0 auf [0, 1], da im inneren des Intervalls eine geometrische Folge mit |q| < 1 gekoppel mit n² vorliegt und die geometrische Folge schneller gegen 0 konvergiert als n² gegen unendlich. Es läßt sich aber kein von t unabhängiger Wert für n angeben, ab dem |f_n(t)| < epsilon ist. Denn je näher t an die 0 rückt desto "später" überwiegt die geometrische Folge das n². Anders ausgedrückt, für jedes n und für jedes eps > 0 gibt es ein t0 € (0, 1) so dass f_n(t0) > eps