Gleichmäßige und Punktweise Konvergenz von Funktionsfolgen?
Was bedeuten diese beiden Ausdrücke? Was ist der Unterschied? Ich hab mir schon so viele Skripten durchgeschaut, aber in keinem find ich etwas das ich verstehe. Kann mir das jemand anschaulich, ohne zu viel Formalisimus erklären? Studiere grade Physik und komme einfach nicht drauf was die Professoren nun genau meinen wenn sie diese Ausdrücke benutzen.
Danke
2 Antworten
Eine Funktionenfolge ist eine Folge, deren Folgenglieder Funktionen sind, d.h zu jeder natuerlichen Zahl n hast Du eine Funktion f_n.
Ideen: Konvergenz soll so etwas wie "Annaeherung" ausdruecken. Was koennte es nun bedeuten, dass sich eine Funktionenfolge (f_n) einer "Grenzfunktion" f annaehert?
- Erste Idee: Zeichne die Schaubilder von f und einem f_n und betrachte eine feste Stelle x0 im Definitionsgebiet. Die vertikale Linie x=x0 schneidet sowohl f als auch f_n. Nun schaust Du Dir an, ob diese beiden Schnittpunkte fuer immer groessere n "zusammenlaufen", d.h. ob f_n(x0) gegen f(x0) konvergiert. Wenn das fuer jedes x0 so ist, spricht man von punktweiser Konvergenz.
- Zweite Idee: Zeichne das Schaubild von f und darum einen "Schlauch" der Breite ε (d.h. zeichne f auch um ε nach oben und nach unten verschoben ein). Schaue nun, ob die Schaubilder von f_n fuer immer groessere n komplett in diesen Schlauch hineinlaufen. Wenn das so ist (egal, welches ε>0 Du gewaehlt hast), spricht man von gleichmaessiger Konvergenz.
Merke: Um zu entscheiden, ob eine Funktionenfolge punktweise gegen eine Grenzfunktion geht, schaut man sich also die Stellen im Definitionsgebiet einzeln an. Um ueber gleichmaessige Konvergenz zu entscheiden, muss man aber immer den gesamten Graphen betrachten.
Zusammenspiel der Begriffe: Jetzt ist eine naheliegende Frage, ob die beiden Ideen von oben am Ende nicht dasselbe aussagen. Dem ist in der Tat nicht so! Dazu ein Beispiel:
Betrachte die Funktionenfolge f_n auf dem Intervall [0, 1] definiert durch f_n(x) := x^n und die Funktion f mit f(x) := 0 fuer x∈[0, 1) und f(1) := 1. Nun kannst Du Dich davon ueberzeugen, dass (f_n) zwar punktweise, aber nicht gleichmaessig gegen f konvergiert. Entscheidend ist, was in der Naehe von x0 = 1 passiert! Bekommst Du das hin?
Erste Saetze: Man kann zeigen, dass gleichmaessige Konvergenz ein staerkerer Begriff ist als punktweise Konvergenz, d.h. wenn f_n gleichmaessig konvergiert, dann automatisch auch punktweise (umgekehrt stimmt das nicht, s. Beispiel oben). Konvergiert eine Funktionenfolge aus stetigen Funktionen gleichmaessig, so ist auch die Grenzfunktion stetig (punktweise Konvergenz reicht da nicht, s. Beispiel oben).
Punktweise Konvergenz:
Für alle epsilon > 0 und alle x existiert ein N, sodass |fn(x)-f(x)| < epsilon (für alle n >= N)
Gleichmäßige Konvergenz:
Für alle epsilon > 0 existiert ein N sodass für alle x gilt |fn(x)-f(x)| < epsilon (für alle n >= N)
Also ist bei punktweiser Konvergenz die Wahl von N von epsilon und x abhängig, wohingegen bei glm. Konvergenz die Wahl von N nur von epsilon abhängig ist.