Wie geht man hier vor?

Gerade kam meine kleine Schwester zu mir da sie die Matheaufgabe nicht versteht. Da ich aber seit Jahren kein Mathe mehr habe bin ich da keine große Hilfe und dachte versuche hier mein Glück.

Sie muss den Maximal Umfang dieser Aufgabe hier berechnen aber sie hat keine Ahnung wie und versucht ihr bestes kriegt es aber nicht hin. Hilfe wäre sehr nett damit damit sie es nachvollziehen und verstehen kann :)

Die Aufgabe lautet: Gesucht ist das maximale Volumen eines Quaders aus Draht. Die Drahtlänge beträgt dabei 84cm. Unten ist die Skizze dazu

Answer 1

[evtldocha]

Das Volumen ist:

$V\left(a;h\right)=3a\cdot a\cdot h=3a^2\cdot h$

Die Nebenbedingung ist, dass die Kantenlängen zusammen genau 84 cm sind:

$K\left(a;h\right)=4\cdot\left(3a\ +\ a\ +h\right)\ =\ 84$

Die Nebenbedingung wird nach "h" aufgelöst:

$3a+a+h\ =\ \frac{84}{4}​=21\ →\ h=21−4a$

"h" wird nun in die Volumenfunktion eingesetzt und damit ergibt sich:

$V(a)=3a^2\cdot(21−4a)=63a^2−12a^3$

Von dieser Funktion ist das Maximum zu suchen. Daher Nullstellen der ersten Ableitung suchen:

$V'\left(a\right)=126a-36a^2=0$ $\rightarrow\ 18a\cdot\left(7-2a\right)=0\ \Leftrightarrow a=0\ \vee\ a=\frac{7}{2}$

$V''\left(\frac{7}{2}\right)\ =\ 126\ -72\cdot\frac{7}{2}=126\ -\ 252\ =-126\ <0$

also ist a=7/2 ein Maximum der Funktion V(a)

Die Seite a muss also 3,5 cm lang sein und die Höhe "h" ist 7 cm:

$21-4\cdot\frac{7}{2}=21-14=7\$

Bleibt noch die Probe, die ich Dir überlasse.

Achso:

Bleibt natürlich noch die eigentliche Frage nach dem Volumen zu beantworten. Den Wert "a" in die oben aufgestellte Volumenfunktion einsetzen liefert dann:

$V\left(\frac{7}{2}\right)=257,25\ cm^3$

Comments

[aperfect10]

Gute Antwort!

Answer 2

[tunik123]

Da jede der drei Seitenlängen vier mal vorkommt, ist

a + 3a + h = 21 (alle Angaben in cm)

h = 21 - 4a

Das Volumen ist

a * 3a * (21 - 4a)

Das multipliziert man aus, bildet die erste Ableitung und setzt sie 0 Damit kann man a ausrechnen und daraus h.