Wie finde ich eine ganzrationale Funktion deren Graph mit dem gegebenen graphan übereinstimmt?
Siehe Bild
4 Antworten
Ich mache dir mal für 32a) einen konkreten Vorschlag.
Der Verlauf der Kurve ist kubisch (also mit x³). Das sieht man.
Es geht von links unten nach rechts oben, also ist das erste Glied positiv.
Ich sehe eine Nullstelle bei x = 2 und eine doppelte bei x = 6
Daraus ergibt sich in der Darstellung mit Linearfaktoren
f(x) = a * (x - 0) (x - 6)²
f(x) = a x (x - 6)²
f(x) = a x (x² - 12 x + 36)
f(x) = ax³ - 12ax² + 36ax
Bei x = 2 hat sie f(x) = 8. Das ist der y-Wert.
a * 2³ - 12a * 2² + 36a * 2 = 8
8a - 48a + 72a = 8
32 a = 8
a = 1/4
Damit ist f(x) = 1/4 x³ - 3x² + 9x
Wenn du die bekannten Punkte (0; 2; 6) hier einsetzt, ergeben sich die ebenfalls bekannten y-Werte (0; 8; 0).
Die abgeleitete Kurve hat Extremstellen bei x = 2 und x = 6.
Das reicht dann zur Identifizierung.
Indem du dir einzelne Punkte auf dem Graphen raussuchst und mit diesen ein Gleichungssystem aufstellst.
Die Funktion von dem Graph bei a) ist z.B. eine Funktion 3. Grades, sprich du brauchst 4 Punkte für dein Gleichungssystem.
Völlig egal, das Ergebnis ist am Ende immer das gleiche, wenn du richtig rechnest.
Ich würde dir empfehlen u.a. immer den Punkt bei x=0 nehmen, da sich diese Gleichung direkt bis zum konstanten Glied auflösen lässt.
PS: Wo ichs grad bei @UlrichNagel lese: Man sollte auch auf Symmetrie achten, da somit entweder alle geraden oder undgeraden Glieder wegfallen können.
Stelle die allgemeine Funktion für a) dritten Grades b) 4.Grades achsensymmetrisch und c) eine negative Funktion 3.Grades auf und setze Werte ein, damit du a, b, c usw. heraus bekommst!
Egal, was du im Graf abliest, aber normal die markantesten wie Scheitelpunkt, Nullstelle usw.
a) y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao mit x=0 ergibt ao=0 bleibt
f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x abgeleitet
f´(x)=0=3*a3*x²+2*a2*x+a1
1. a3*2³+a2*2²+a1*2=8 aus den Maximum x=2 y=8
2. 3*a3*2²+2*a2*2+1*a1=0 aus den Maximum x=2 f´(2)=0
3. 3*a3*6²+2*a2*6+1*a1=0 aus den Minimum x=6 f´(6)=0
wir haben nun ein "lineares Gleichungssystem" (LGS) mit den 3 Unbekannten a3,a2 und a1 und 3 Gleichungen,also lösbar.
dies schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht
1.8*a3+4*a2+2*a1=8 aus f(2)=8
2.12*a3+4*a2+1*a1=0 aus f´(x)=0
3. 108*a3+12*a2+1*a1=0 aus f´(x)=0
Lösung mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio) a3=0,25 ,a2=-3 a1=9
gesuchte Funktion somit y=f(x)=0,25*x³-3*x²+9*x
b) Hier braucht man Spezialwissen
y=f(x)=a4*x⁴-a2*x² Dieser Graph sieht aus wie ein "W" im Bild ist dieser noch um 1 Einheirt noch oben verschoben.
also f(x)=a4*x⁴+a2*x²+ao mit x=0 ist ao=1
abgeleitet f´(x)=4*a4*x³+a2*2*x
1. a4*2⁴+a2*2²=-4 aus Minimum x=2 und f(2)
2. 4*a4*2³+2*a2*2=0 aus Minimum bei x=2
wir haben hier ein LGS mit 2 Unbekannte a4 u, a2
1.16*a4+4*a1=-4
2. 32*a4+4*a2=0
Lösung mit meinen GTR a4=0,25 und a2=-2
gesuchte Funktion somit f(x)=0,25*x⁴-2*x²+1
C) Hier sehen wir einen "Wendepunkt" und nur eine Nullstelle
Das hat nut die Funktion y=f(x)=a*x³ außerdem ist der Graph um ao=-1 nach unten verschoben.
also f(x)=a*x³-1 nun ist der Graph auch noch um 1 nach rechts verschoben
ergibt f(x)=a*(x-1)^3-1 nun haben wir noch eine Nullstelle bei x=-1
ergibt f(x)=0=a*(-1-1)³-1 ergibt 0=a*(-2)³-1 ergibt a=1/(-8)=-0,125
gesuchte Funktion somit y=f(x)=-0,125*(x-1)^3-1
den Rest schaffst du selber (x-1)^3 ausmultiplizieren
Was für Punkte soll man da nehmen?