Gebrochenrationale Funktion bei gegebenen Asymptoten berechen?
Hi ich hab hier eine Mathe HA bei der ich iwie nicht so richtig weiter komme..:
Geben sie eine gebrochen-rationale Funktion an, deren Graph durch die Gleichung gegebenen Asymptoten besitzt.
a) y=-1; x=0
b) x=-1; x=2; y=2
Kann mir jmnd vllt erklären wie man das rechnet? Danke schonmal im Vorraus :)
1 Antwort
Die senkrechten Asymptoten (also x=...) sind die Polstellen der Funktion, also die Stellen, an denen der Nenner Null wird.
Die waagerechte Asymptote (y=...) ist der Wert gegen die die gebrochen-rationale Funktion im Unendlichen läuft.
Wählst Du also Deine gebrochen-rationale Funktion so, dass der Bruch (mit den vorgegebenen Polstellen) Null wird, also der Nennergrad > Zählergrad ist, setzt Du einfach den vorgegebenen y-Wert dahinter. Anschließend bringst Du alles auf einen Hauptnenner.
a) y=-1; x=0
wegen x=0 kommt schon einmal f(x)=1/x in Frage. Im Unendlichen soll -1 rauskommen, also f(x)=1/x-1
Jetzt das zu einem Bruch zusammenfassen: f(x)=1/x-x/x = (1-x)/x
b) genauso: x=-1; x=2 => f(x)=1/((x+1)(x-2))
wegen y=2: f(x)=1/((x+1)(x-2)) +2
auf einen Nenner: f(x)=1/((x+1)(x-2)) + 2*(x+1)(x-2)/((x+1)(x-2))
=(1+2(x+1)(x-2))/((x+1)(x-2))
Die Klammern jetzt aufzulösen überlasse ich Dir.
gerne, gibt noch einen anderen, evtl. einfacheren/schnelleren Weg:
teilst Du die Koeffizienten der höchsten Zähler- und Nennergrade, muss die waagerechte Asymptote rauskommen.
Also bei a) f(x)=(ax+b)/x
ax/x=-1, also muss a=-1 sein; b ist vollkommen egal,
also geht z. B.: f(x)=(-x+78)/x
bei b) Nenner ist 2. Grad, also muss ax²/x²=2 sein => a=2
also z. B. f(x)=(2x²+5)/((x+1)(x-2))
Gut erklärt. Aber ist der Schritt "alles auf einen Hauptnenner bringen" nötig? Ich finde 1/x - 1 viel schöner als (1-x)/x weil man die Asymptoten sofort am Term erkennt, letzteres ist allerdings für die Nullstellen schöner. Je nachdem was man braucht.
Bin immer davon ausgegangen, dass gebrochen-rationale Funktionen rein aus Zähler- und Nennerpolynom bestehen.
Zumindest kann man sie alle in diese Form bringen.
Ansonsten sind zwei Funktionen f und g gleich, wenn sie die gleiche Definitionsmenge D haben und für alle x aus D gilt f(x) = g(x).
vgl. z.B. http://www.mathepedia.de/Abbildungen_und_Funktionen.aspx
Aber vorsichtshalber gucken, wie es in der Schule erwartet wird. Bei derartigen Diskussionen kann man schnell den kürzeren ziehen.
Vielen Dank für die Ausführliche Antwort! :D