Frage von AllyLovesYou, 35

Modellierung einer gebrochen-rationalen Funktion mit gegebener schiefer Asymptote?

Hallo! Ich soll eine gebrochen Rationale Funktion bestimmen, habe 2 schiefe Asymptoten gegeben, 2 Punkte die Element des Graphen sind und eine Schiefe Asymptote. Ich komme klar mit allem außer der schiefen Asymptote! Wie soll ich das denn in meinen Funktionsterm aufnehmen? Also wie soll ich eine Funktion erstellen, die genau diese schiefe Asymptote hat? Wäre super wenn mir da jemand helfen kann, ich finde überall nur Methoden in die andere Richtung (also aus einem Funktionsterm die schiefe Asymptote bestimmen, das kann ich aber ja auch) Danke!

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 17

Vermutlich meinst du "2 senkrechte Asymptoten" statt "2 schiefe Asymptoten". Eine gebrochen-rationale Funktion kann maximal eine nicht-senkrechte Asymptote haben.

Allgemein gilt für die Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen (am besten auf einen gemeinsamen Nenner bringen, soweit wie möglich kürzen und sowohl faktorisieren als auch ausmultiplizieren, dann sieht man die entscheidenden Größen sofort):

- senkrechte Asymptoten gibt es genau dort, wo der Nenner in der gekürzten Form eine Nullstelle hat (bzw. wo die Nullstellenvielfachheit der Nennerfunktion größer ist als die Nullstellenvielfachheit der Zählerfunktion - hierfür ist die faktorisierte Form übersichtlicher).

- hebbare Singularitäten gibt es genau dort, wo sowohl Zähler als auch Nenner eine Nullstelle haben und die Nullstellenvielfachheit des Zählers mindestens ebensogroß ist wie die Nullstellenvielfachheit des Nenners (falls größer, ist dort eine Nullstelle)

- die x-Achse ist genau dann Asymptote ("Tangente im Unendlichen"), wenn der Grad der Zählerfunktion kleiner ist als der Grad der Nennerfunktion

- es liegt genau dann genau eine waagerechte Asymptote vor, die nicht die x-Achse ist, wenn der Grad der Zählerfunktion gleich dem Grad der Nennerfunktion ist; der y-Wert dieser Asymptote ist gleich dem Quotienten der Koeffizienten der höchsten Potenzen der unabhängigen Variablen (x) in Zähler und Nenner

- es liegt genau dann eine schräge Asymptote vor, wenn der Grad der Zählerfunktion um 1 größer ist als der Grad der Nennerfunktion; aus den beiden höchsten Koeffizienten der Zählerfunktion und dem höchsten Koeffizienten der Nennerfunktion kann man die Asymptotengleichung sofort ablesen, bzw. wenn man umgekehrt als Asymptotengleichung hat:

y = m x + b

, dann ist die gebrochen-rationale Funktion mit dieser Asymptote von der Gestalt

f(x) = (m x^(p+1) + b x^p + P_1_(p-1)(x)) / (1 x^p + P_2_(p-1)(x))

wobei P_n_(q)(x) ein Polynom in x vom Grad maximal q ist

- das Verhalten im Unendlichen ist genau dann wie das einer ganzrationalen Funktion vom Grad größer als 1 (also keine Gerade), wenn der Grad der Zählerfunktion um mehr als 1 größer ist als der Grad der Nennerfunktion; wir haben dann keine Asymptote im Unendlichen mehr (nur noch ein "asymptotisches Verhalten").

Kommentar von AllyLovesYou ,

Oh. Ja natürlich, ich meinte 2 senkrechte Asymptoten. 

Vielen Dank für deine hilfreiche Antwort, ich versuche mal das anzuwenden! 

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 21

Ich versuche, dir mal weiterzuhelfen. Eie schiefe Asymptote wäre z.B. eine mit der Gleichung y = x.

Nimm jetzt mal die Funktion f(x) = (x² - 1) / x

Sie hat ja offenbar eine Unstetigkeitsstelle bei x=0.  
Wenn du sie anders schreibst, steht da:

f(x) = x²/x - 1/x   = x - 1/x     sofern x ungleich 0

Das bedeutet eine Asymptote y = x, der sich die Kurve beliebig annähert, weil 1/x gegen 0 geht.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%C2%B2-1)%2Fx

Das geht mal wieder nicht. Wenn die Maske kommt, gib einfach (x^2-1)/x ein.

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