Wie beweist man die Unstetigkeit der Dirichlet-Funktion mittels Folgenstetigkeit?
Hallo,
welche Folge müsste ich nehmen, um zu zeigen, dass die Dirichlet-Funktion nirgends stetig ist?
2 Antworten
Falls x rational ist, gibt es eine Folge von irrationalen Werten (x_n), die gegen x konvergiert, was aber bedeutet, dass f(x_n) gegen 0 konvergiert und nicht gegen f(x).
Umgekehrt geht das genauso: Falls x irrational ist, gibt es eine Folge von rationalen Zahlen (x_n), die gegen x konvergiert.
Die Existenz dieser Folgen kannst du dadurch begründen, dass sowohl die irrationalen Zahlen als auch die rationalen Zahlen dicht in IR liegen (falls ihr das schon bewiesen habt). Du kannst aber auch explizit Folgen konstruieren.
Ich meine nur, dass eine solche Folge für jedes x_0∈ℝ\ℚ existiert. Ob du das einfach so in den Raum stellen darfst, hängt halt davon ab, was ihr schon alles wisst. Falls ihr bewiesen habt, dass ℚ dicht in ℝ liegt, ist das quasi trivial. Ansonsten würde ich an deiner Stelle eine solche Folge (x_n) basteln.
Die erste Folge ist ok.
Die zweite funktioniert nicht: Wenn x_0 irrational ist, ist auch x_0 + 1/n irrational.
Stimmt, was für eine Folge könnte man da nehmen?
Ein anschaulicher Ansatz geht über die Dezimaldarstellung. Beispielsweise die Folge
3
3,1
3,14
3,141
3,1415
...
ist eine Folge von rationalen Zahlen und konvergiert gegen Pi. Die Konvergenz wird im Wesentlichen dadurch begründet, dass der Abstand zwischen Pi und dem n-ten Folgenglied (bei mir startet die Folge beim 0-ten Folgenglied) immer kleiner ist als 1/10^n und (1/10^n) eine Nullfolge ist.
Du müsstest den Ansatz nur auf alle irrationalen Zahlen verallgemeinern.
Wie wäre es mit (1+1/n)^n? Diese konvergiert ja gegen e... :D
Stimmt, aber damit würdest du nur beweisen, dass die Dirichlet-Funktion in e nicht stetig ist. Du musst aber zeigen, dass sie in keiner irrationalen Zahl stetig ist, und dieser Ansatz ist eher schwierig zu verallgemeinern ;)
eine folge mit nur rationalen und eine mit nur irrationalen werten
Also: Sei x_0 eine rationale Zahl: bspw. x_n:=x_0+sqrt(2)/n ? Diese konvergiert für n-->unendlich gegen x_0. Aber f(x_n)=0 geht gegen 0?
Da hab ich nicht dran gedacht. Ja du brauchst noch eine rein rationale Folge mit irrationalen Grenzwert. (In deiner Begründung hast du aber Schnitt und Vereinigung verwechselt)
Z.B. die hier: https://mathepedia.de/Naeherung_von_Wurzel_2.html
Du brauchst aber für jede irrationale Zahl so eine Folge. Um die Existenz davon zu zeigen muss man erstmal sich vor Augen führen, wie ihr die reellen Zahlen definiert hat.
Was ist denn eine reelle Zahl? In der Regel definiert man das über Cauchy-Folgen oder Dedekindsche-Schnitte.
Was du aber brauchst ist, dass zu jeder irrationalen Zahl eine rationale Folge gehört.
Du meinst, ich könnte auch sagen, dass (x_n)⊂ℚ eine Folge ist, die gegen x_0∈ℝ\ℚ konvergiert?