Stetigkeit, Dreiecksungleichung?

Hey Leute, ich komme bei folgender Aufgabe gar nicht weiter und habe auch keinen Ansatz. Kann mir da Jemand bitte Helfen?

Stetigkeit: Zeigen Sie mithilfe der Definition, dass die Funktion f : R → R, f(x) := x² , stetig ist. Hinweis: Sie können ohne Beweis nutzen, dass |a + b| ≤ |a| + |b| für alle a, b ∈ R gilt. Diese Ungleichung wird Dreiecksungleichung genannt.

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

[Willibergi]

Wende die Definition an:

$\forall x \in \mathbb R \, \forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0 \, \forall y \in \mathbb R: |x-y| < \delta \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon$

Sei x aus IR und ε > 0.

Im Prinzip müssen wir jetzt nur eins schaffen: Den Ausdruck |f(x) - f(y)| irgendwie in Abhängigkeit des Terms |x - y| und x zu schreiben. Denn dann könnten wir |x - y| durch δ abschätzen und dann das δ so wählen, sodass der δ-Term kleiner als ε ist (z. B. indem wir die Ungleichung δ.... < ε aufstellen und nach δ auflösen oder noch weiter abschätzen).

Nun ist:

$|f(x)-f(y)| = |x^2-y^2|$

Wie kann man diesen Term jetzt schlau umformen, sodass er nur noch von dem festen Ausdruck |x - y| und x abhängt?

Comments

[Anonym386]

Danke fürs Antworten :)

Ich habe nun soweit umgeformt, dass ich δ²+2δ*IyI habe. Muss ich nun dies gleich ε setzen und dann die Pq-Formel anwenden?

Meine Rechnung:

Ix-yI*Ix+yI < Iδ*Ix+y+y-yII < δIIx-y+2*IyII < δ*(δ+2IyI) -> ausklammern: =δ²+2*δ*IyI = ε

[Willibergi]

@Anonym386

Das y ist bei der Wahl von δ noch gar nicht bekannt. Schau dir die Quantorenreihenfolge nochmal an. Du müsstest also zu x - y + 2x umformen - das Prinzip stimmt aber.

Du setzt jetzt δ*(δ+2Ix|) < ε und formst das nach δ um: Dann weißt du, wie du das δ in Abhängigkeit von x und ε wählen musst. Oder du machst dir das Leben noch einfacher und forderst zusätzlich δ < 1 und schätzt δ + 2Ix| < 1 + 2|x| ab, dann sparst du dir das quadratische Umformen.