Gültigkeit der Bernoulli-Ungleichung?

Hey,

In der Definition der Bernoulli-Ungleichung ist gegeben, dass x>-1 sein muss.

Aber gilt die Gleichung auch für -2<=x<-1?

Liebe Grüße, Paul

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Ja. Auf Wikipedia steht es in den Bemerkungen.

Für n ∈ ℕ und x = -1 ist die Ungleichung erfüllt . $\left(1 + x\right)^n - \left(nx + 1 \right) = \left(1 - 1\right)^n - \left(-n + 1 \right) \geq 0$

Mit der Ableitung zeigt man, dass die Funktion in dem Bereich [-2, -1] monoton fällt. $n\left(1 + x\right)^{n-1} - n = n\left(\left(1 + x\right)^{n - 1} - 1\right) \leq 0, \qquad -2 \leq x \leq -1$

Also gilt die Ungleichung in dem Bereich auch.

Comments

[Paul654]

Setze ich aber für n=1 und x=-2, so ergibt sich:

(1-2)^1 = -1 und

1+ 1×-1 = 0 und damit

(1+x)^n<1+nx, was ein Widerspruch zur Ungleichung wäre, oder nicht?

[Mathmaninoff, UserMod Light]

@Paul654

(1+ x)ⁿ = (1 - 2)¹ = -1 = 1 + 1(-2) = 1 + nx

Passt schon.