Wie bestimme ich den kleinsten bzw. größten Wert einer quadratischen Funktion rechnerisch, und zeichnerisch?
Wie mache ich das? Wie kann ich das rechnerisch bestimmen?
5 Antworten
Rechnerisch geht es bei einer quadratischen Parabel mit der Scheitelpunktbestimmung (quadratische Ergänzung).
Ist dieser ein Minimum, dann steht nichts (also Plus) vor der Form.
Steht dort ein Minus, ist die Parabel nach unten geöffnet, und der Scheitelpunkt ist ein Maximum.
Numerisch gemeint ist immer der y-Wert.
Um den Extremwert rechnerisch zu bestimmen, setze die erste Ableitung der Funktion Null und löse. Ist die zweite Ableitung kleiner Null, ist die Extremstelle ein Maximum und umgekehrt.
Zeichnerisch bestimmst den kleinsten oder größten Wert durch Ablesen.
Das Thema ist im Mathebuch, doch ich verstehe nicht, was der kleinste bzw. größte Wert sein soll, denn es gibt doch keinen größten Wert, wenn a positiv ist? Und reden wir über x oder y Wert?
Was ist denn bei Dir a?
Ob der Extremwert in x- oder y-Richtung bestimmt werden soll, ist eine Frage der Aufgabenstellung.
Üblich bei Funktionen höheren Grades ist die Berechnung von Extrema der Funktionswerte als y = f(x).
Hi,
ich vermute, mit a meinst du den Koeffizienten vor x² , d.h. die allgemeine Parabel ist ein Ausdruck der Form p(x) = ax² + bx + c .
Wenn a positiv ist, dann ist der Graph eine nach oben geöffnete Parabel, sie hat also einen kleinsten Punkt, ein Minimum.
Ist a negativ, dann ist der Graph von p eine nach unten geöffnete Parabel, die einen höchsten Punkt hat, ein Maximum.
Hat die Parabel zwei Nullstellen, dann liegt der x-Wert des Maximums bzw. des Minimums in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.
Es kann aber sein, dass die Parabel keine Nullstellen hat.
Wenn man das Minimum bzw. Maximum der Parabel ohne die erste Ableitung und ohne dass es Nullstellen gibt, ermitteln will, kann man das mit der quadratischen Ergänzung machen.
Hier zwei Beispiele
1) p(x) = 4x² - 12x + 13 , umwandeln in Scheitelpunktform:
4x² - 12x + 13 = 4(x² - 3x + 13/4) = 4(x² -3x + 9/4 - 9/4 + 13/4) =
4(x² - 3x + 9/4 + 4/4) = 4(x² - 3x + 9/4 + 1) = 4(x² - 3x + 9/4) + 4 = 4(x - 3/2)² + 4
D.h. der kleinste Wert der Parabel liegt bei x = 3/2 .
2) p(x) = (-1/2)x² + 3x - 7 , umwandeln in Scheitelpunktform:
(-1/2)x² + 3x - 7 = (-1/2)(x² - 6x + 14) = (-1/2)(x² - 6x + 9 - 9 + 14) =
(-1/2)(x² - 6x + 9 +5) = (-1/2)(x² -6x + 9) - 5/2 = (-1/2)(x - 3)² - 5/2
D.h. der größte Wert der Parabel liegt bei x = 3
Gruß
Das ist eine sehr gute Erklärung.
Ergänzend sei noch zu sagen, dass eine Parabel mit genau einer Nullstelle dort auch ihr Maximum oder Minimum hat.
Es ist doch eine Parabel, es kann als nur entweder einen höchsten oder niedrigsten Punkt geben (die andere Richtung hast ja, falls der Definition Bereich nicht eingeschränkt ist, unbegrenzt).
Allgemeine Gleichung der Parabel:
f(x) = a * (x - c)^2 + b
Falls a > 0 ist Parabel nach oben geöffnet und Minimum liegt bei (c/b).
Falls a < 0... nach unten geöffnet und Maximum bei (c/b).
Für a = 0 ist die Funktion konstant.
Scheitelpunkt der Parabel...
Parabel zeichnen. x-Achse, y- Achse.
Ja, das wäre zeichnerisch, wie mache ich das aber rechnerisch (ohne Ableitung, falls möglich)
Okay, aber geht das evtl. auch ohne Ableitung (trotzdem rechnerisch), im 8-9 Klasse Niveau?