Wie bestimme ich Abstand & Zeitpunkt windschiefer Geraden?
Ich brauche dringend Hilfe bei Aufgabe 11 b !!!!!!!!!
1 Antwort
In Abhängigkeit der Zeit t [Stunden], befindet sich das Flugzeug 1 am Ort
g(t) = (0,0,0) + t*300/wurzel(6) * (1,2,1)
Mit wurzel(6) muss dividiert werden, weil das der Länge des Richtungsvektors entspricht. Das Flugzeug legt in einer Zeiteinheit die Länge der entsprechenden Raumdiagonale zurück.
In Abhängigkeit der Zeit t [Stunden], befindet sich das Flugzeug 2 am Ort
h(t) = ( 20, 34.2, 15.3 ) + t*400/wurzel(17) * (-2,2,3)
Mit wurzel(17) muss dividiert werden, weil das der Länge des Richtungsvektors entspricht.
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Um den kleinsten Abstand der beiden Flugbahnen zu ermitteln, baut man eine Ebene E mit den beiden Richtungsvektoren aus g und h auf:
E: (0,0,0) + p*(1,2,1) + q*(-2,2,3)
Die Ebene E in Koordinatenform umwandeln:
E: 4x - 5y + 6z = 0
Nun setzt man einen Punkt, z.B. h(0)=( 20, 34.2, 15.3 ) in die Ebenengleichung ein
E: 4*20 -5*34.2 + 6*15.3 = 0.8
Dieser Wert wird durch die Länge des Normalenvektors n=(4,-5,6) der Ebene E dividiert 0.8/wurzel(16+25+36) ~ 0.0911685
Das ist der kleinste Abstand. Da alles in km gerechnet wird, also ca. 91 Meter.
Danach ist aber nicht gefragt, denn die beiden Flugzeuge befinden sich zum Zeitpunkt t nicht an den entsprechenden Fusspunkten, sondern an völlig anderen Orten.
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Das Finden der Fusspunkte ist komplizierter. Weil das hier den Rahmen sprechen würde, findet man das Verfahren hier
https://www.mathematik-oberstufe.de/vektoren/a/abstand-gerade-ws-lot-lfd-punkt.html
Geht man so vor, lautet der Fusspunkt von g(t)
FG = (6957/385, 13914/385, 6957/385 )
Dieser Punkt wird für t*300/wurzel(6) = 6957/385 erreicht. Das Flugzeug 1 erreicht diesen Punkt somit bei t = 0.14754
Der Fusspunkt von h(t) lautet
FH = ( 6973/385, 13894/385, 6981/385 )
Dieser Punkt wird für t*400/wurzel(17) = 727/770 erreicht. Das Flugzeug 2 erreicht diesen Punkt somit bei t = 0.0097312.
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Um den kleinsten Abstand der beiden Flugzeuge zu ermitteln, kommt nicht darum herum, den Abstand von d(t) = |g(t)-h(t)| in Abhängigkeit von t zu bestimmen. Dabei reicht die Betrachtung des quadratischen Abstands, um die Anwendung der Wurzel zu umgehen. Heraus kommt ein total unschöne Funktion. Sucht man nach dem Minimum, ergibt sich der kleinste quadratische Abstand zu d ~ 1573.8 [km] zum Zeitpunkt t ~ 0.041869 [Stunden].
Der kleinste Abstand der Flugzeuge beträgt damit wurzel ( 1573.8 ) ~ 39.75 [km] nach 0.041869 Stunden.
Das ist logisch, denn zum Zeitpunkt t = 0 befinden sich die Flugzeuge im Abstand von d = wurzel(20^2 + 34.2^2 +15.3^2) ~ 42.47 km. Der Abstand wird dann geringfügig kleiner, und dann monoton ansteigend immer grösser.
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Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand die "offizielle" Lösung zukommen ließe.
Ich habe den quadratischen Abstand der beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt t als Funktion d(t) aufgestellt, also die ganz normale Abstandsformel in Abhängigkeit von t. Der eine Punkt ist durch g(t) und der andere Punkt durch h(t) gegeben.
d(t) ist eine quadratische Funktion mit nur einen Variablen t. d(t) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Über die erste Ableitung kommt man an das Minimum.
Das unschöne sind die Terme mit wurzel(6) und wurzel(17). Das Minimum habe ich mir deshalb von einem Rechner bestimmen lassen, denn das per Hand zu rechnen, ist eine Strafarbeit.
Es muss also einen einfacheren Weg geben, aber wie ?
Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung!!
In den Lösungen steht: Abstand 39,7km nach 2 einhalb Minuten.
Dein Lösungsweg ist somit richtig. Ich habe das genauso wie du gerechnet allerdings komme ich mit den Funktionen durcheinander. Könntest du mir sagen wie die Funktion lautet mit der man das Minimum berechnet?