Lineare Funktionen Abstand zwischen Punkt und Geraden?

Hey Leute was jemand was man machen muss Aufgabe lautet . Abstand zwischen Punkt und Gerade am Bsp P (-1/5) zur Geraden g : y=2x+3

2 Antworten

Willy1729

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Schule, Mathematik, Funktion

20.09.2018, 18:48

Hallo,

wenn Du eine Geradengleichung der Form y=mx+b hast, dann ist das m die Steigung der Geraden.

Eine Gerade, die dann vor dem x den negativen Kehrwert von m, also -1/m hat, ist zu dieser Geraden normal, also senkrecht.

In diesem Fall ist m=2 und -1/m ist gleich -1/2.

Es gibt also eine Gerade y=(-1/2)x+b, die senkrecht zur Geraden y=2x+3 ist.

Wir bestimmen die Gerade y=(-1/2)x+b so, daß der Punkt (-1|5) dessen Abstand wir suchen, auf dieser Geraden liegt, indem wir für x eine -1 und für y eine 5 einsetzen und die Gleichung nach b auflösen.

(-1/2)*(-1)+b=5

b=4,5

Die Senkrechte hat demnach die Geradengleichung y=(-1/2)x+4,5

Der kürzeste Abstand von Punkt (-1|5) zur Geraden y=2x+3 liegt natürlich zwischen diesem Punkt und dem Punkt, an dem die Gerade von der Senkrechten durch (-1|5) geschnitten wird.

Also gleichsetzen:

2x+3=(-1/2)x+4,5

2,5x=1,5

x=1,5/2,5=0,6

Für x=0,6 haben beide Geraden den Funktionswert 4,2.

Punkt (0,6|4,2) hat also den kürzesten Abstand zu Punkt (-1|5)

Der Abstand zweier Punkte ist der Betrag ihrer Differenz:

(0,6|4,2)-(-1|5)=(1,6|-0,8)

Abstand ist die Wurzel aus (1,6²+(-0,8)²)=1,79 Einheiten.

Herzliche Grüße,

Willy