Wie berechnet man eine Flächeninhalt eines Dreieckes bei einem Koordinatensystem ohne zu messen?
Kann mir da jemand eventuell es erklären? Gerne auch Beispiel z.B A(X/Y); B(X/Y); C(X/Y)
6 Antworten
die Abstände zwischen den Punkten sind die Linien, dann die Formel 1/2 * Linie1 * Linie2 anwenden ;) .
Wenn du die Punkte A(5/5), B(10/5), und C(10/10) hast, sind die Linien AB, und BC jeweils 5cm lang. Jetzt rechnest du 5cm*5cm*0,5, und so erhälst du den Flächeninhalt des Dreiecks, indem Beispiel: 12,5cm².
Abstände zwischen Punkten solltest du berechnen können.
Die kannst du dann in die Heronsche Flächenformel einsetzen.
Ich werd mir dafür keinen weitere Account irgendwo erstellen. Abgesehen davon, dass auch spätere Besucher dieser Seite was davon haben sollen.
Frag also bitte hier nach, wenn du was nicht verstanden hast.
Integrieren geht natürlich auch, wobei sich herausstellt, dass die gegenseitige Lage der Punkte das Ergebnis nicht beeinflusst. Allerdings hab ich mich da mehrere Vorzeichenfehler gemacht.
Da ist es einfacher, jede Seite mit ihren Loten auf die x-Achse und den zugehörigen Abschnitt der x-Achse als Trapez zu betrachten und hiervon den Flächeninhalt zu bestimmen. Das Ergebnis ist dasselbe.
Oder man umschreibt das Dreieck mit einem Rechteck mit achsenparallelen Seiten. O. B. d. A. können wir hier die Eckpunkte des Dreiecks, A, B und C, so benennen, dass
x_A <= x_B <= x_C
ist. Für y_A, y_B und y_C gibt es dann 6 verschiedene Anordnungen:
y_A <= y_B <= y_C
y_A <= y_C<= y_B
y_B <= y_A <= y_C
y_B <= y_C <= y_B
y_C <= y_A <= y_B
y_C <= y_B <= y_A
Wenn du dir das aufzeichnest, siehst du, dass es für den 2. bis 5. Fall je nur eine Möglichkeit gibt, wie die Punkte im Rechteck angeordnet sind. Dabei ist jeweils ein Punkt in einer Ecke und die beiden anderen Punkte auf denjenigen Seiten liegen, die nicht an diesem Punkt liegen. Im Extremfall kann ein zweiter Punkt in einer Ecke liegen, oder sogar alle drei.
Im Normalfall ist das Rechteck dann in vier Dreiecke geteilt - das ursprüngliche und je eins an jeder Seite des Ausgangsdreiecks. Wenn ein oder zwei der anderen Punkte such in einer Ecke liegen, etfallen ein bzw. zwei dieser Nebendreiecke bzw. sie haben den Flächeninhalt 0.
Die Nebendreiecke sind rechtwinklig mit achsenparallelen Katheten, damit kann man ihre Flächeninhalte leicht aus den Koordinaten berechnen.
Der Flächeninhalt des ursprünglichen Dreiecks ist dann der Flächeninhalt des Rechtecks abzüglich der Flächeninhalte der Nebendreiecke.
Etwas schwieriger ist es im 1. und im 6. Fall - hier fallen zwei Eckpunkte des Dreiecks mit gegenüberliegenden Eckpunkten des Rechtecks zusammen und der dritte Eckpunkt des Dreiecks liegt mitten im Rechteck - im Normalfall; wenn es anders ist, haben wir aber auch wieder einen der übrigen Fälle.
Hier können wir vom Dreieckseckpunkt mitten im Rechteck wieder achsenparallele Strecken bis zu den näherliegenden Rechteckseiten einzeichmen und haben dann nicht nur drei Nebendreiecke, sondern auch ein weiteres Rechteck, dessen Flächeninhalt wir abziehen müssen.
Zur Kontrolle: ich hab da raus (ohne Gewähr):
F = x_B y_A - x_C y_A + x_C y_B - x_A y_B + x_A y_C - x_B y_C
Bild 2
Bild 1
In Bild 1 hab ich ein Dreieck gezeichnet.
In Bild 2 hab ich einen pfeil gezeichnet, der die Richtung angibt, das heißt du willst die Strecke von A nach B berechnen.
Nehmen wir an A (1/1) und B (3/0).
Das Gesetz um einen Vektor auszurechnen lautet spize minus Fuß. Die Spitze des Pfeile ist B und der Fuß A.
Rechnung geht
So jetzt haben wir Vektor AB.
Nun Vektor AC, nach dem selben Prinzip. PS das sind keine Brüche, das ist die Schreibweise.
Jetzt muss man die Vektoren gegen den uhrzeiger in das determinaten Verfahren einsetzten.
Hierbei muss man überkreuzt rechnen und ein Minus einbauen. UPS Antwort ist zu lang,ich schreib eine zweite.
Hattet ihr schon Vektoren
Denn damit kannst du den flächeninhalt berechnen.
Das heißt du rechnest den Vektor AB aus und dann den Vekor AC. Nun setzt du die Vektoren Richtig in das determinaten verraten ein und das Ergebniss teilst du durch ein halb.
Ok also das wird lange.
Ein Vektor ist die Strecke zwischen zwei Punkten.
A(2/3); B(7/3); C(5/7)
A= Ein halb• (20-(0)•3 = 20 ?
So richtig oder muss ich die 20 in ein halb teilen??
Ist das dreieck rechtwinklig?
Beispiel?