Weshalb braucht es nur drei Tasten für alle sechs Winkelfunktionen?
Auf meinem Taschenrechner finde ich nur die Tasten für sin, cos und tan.
Warum braucht es keine Tasten für alle sechs Winkelfunktionen? Könnte man die Anzahl der Taschenrechnertasten noch weiter reduzieren?
3 Antworten
Könnte man.
Die alten 3 weiteren Winkelfunktionen wurden abgeschafft, weil sie einfach die Kehrwerte der vorhandenen waren (Kosekans, Sekans, Kotangens).
Tatsächlich käme man sogar mit einer einzigen aus, denn
sin² = 1 - cos² und sin/cos = tan.
Dann wären die Berechnungen damit aber etwas unübersichtlich. Daher hat man es so gelassen (was nicht bedeutet, dass man nicht über diese Beziehungen Bescheid wissen sollte).
Man muss dabei beachten, dass sin⁻¹ auf dem Rechner nicht bedeutet
1/sin wie sonst immer. Da ist mal irgendwo was ordentlich versaubeutelt worden, und fast alle Hersteller haben es übernommen.
sin⁻¹ steht für arc sin (Arkus Sinus), die Umkehrfunktion des Sinus,
also zur Ermittlung des Winkels aus der Winkelfunktion.
Das ist aus den Definitionen entwickelbar. Man muss auch den Pythagoras kennen.
sin α = a/c
cos α = b / c
Man schreibt sin² α für (sin α)²
Das ist übersichtlicher und schneller und ohne Klammern.
sin² α + cos² α = (a/c)² + (b/c)² | Klammern auflösen
= a² / c² + b² / c² | auf einen Bruch schreiben
= (a² + b²) / c² | Pythagoas: a² + b² = c²
= c² / c²
= 1
Ergebnis: sin² α + cos² α = 1
Wenn ich sin² α isoliere, habe ich
sin² α = 1 - cos² α
Nun der Tangens:
sin α = a / c
cos α = b / c
(sin α) / (cos α) = (a / c) / (b / c) | Kehrwert!
= a c / b c | c kürzen
= a / b
Das ist aber genau die Definition tan α = a / b
Daher sin α / cos α = tan α
Welche genau sind die, die dir noch fehlen ?
Die Umkehrfunktionen arcsin, arccos und arctan sind bestimmt als Zweitfunktionen derselben 3 Tasten erreichbar.
Ferner ist etwa sec(x)=1/cos(x), cosec(x)=1/sin(x), cot(x)=1/tan(x)
Weil diese letzten 3 Funktionen einfach Kehrwerte von sin, cos und tan sind, kann man auf sie als speziell benannte Funktionen eigentlich auch ganz gut verzichten.
Zu deiner letzten Frage: Eigentlich würde eine einzige Funktion, z.B. die Sinusfunktion, genügen, da cos(x) und tan(x) mittels sin(x) (und gewissen Fallunterscheidungen) darstellbar sind. Einen Rechner, der anstatt sin, cos und tan nur noch sin anbietet, würde ich aber wohl doch nicht weiter empfehlen ...
Für die Ausbildung mathematischen Denkens wäre solch ein Rechner aber hervorragend geeignet.
Gruß, Willy
Vielleicht könnten wir einen Rechner-Hersteller dafür gewinnen, auf einem Modell eine Zusatzfunktion einzurichten, um einige Tasten (wenigstens vorübergehend) zu inaktivieren.
Auf meinem Voyage200 könnte man z.B. die Tasten für die Subtraktion, die Division sowie SIN und COS außer Kraft setzen. Mittels (-) , 1/x , TAN (und TAN^(-1)) könnte man trotzdem auskommen.
Wie kommt man auf sin^2 = 1-cos^2 und sin/cos = Tan?