Wer kann diese Aufgabe lösen?

Zwei gleich große Kugeln (Radius 88) mit den Mittelpunktsabständen 2*36 durchdringen einander. Wie groß ist das Volumen des den beiden Kugeln gemeinsamen Körpers?

Answer 1

[mihisu]

Soweit ich das verstanden habe, geht es um das Volumen, welches man erhält, wenn man in der folgenden Zeichnung die blaue Fläche um die x-Achse rotieren lässt.

Der rot eingezeichnete Funktionsgraph hat die Funktionsgleichung...

$f(x)=\begin{cases}\sqrt{88^2-\left(x-36\right)^2} & \text{ für }36-88\leq x \leq 0\\\sqrt{88^2-\left(x+36\right)^2} & \text{ für }0\leq x \leq -36+88 \end{cases}$

Das gesuchte Volumen des entsprechenden Rotationskörpers ist dann gegeben durch...

$V=\pi\cdot \int\limits_{36-88}^{-36+88}\left(f\left(x\right)\right)^2\,\text{d}x$

[Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Rotationskörper]

Dementsprechend erhält man dann...

$V=\pi\cdot \int\limits_{-52}^{52}\left(f\left(x\right)\right)^2\,\text{d}x$

$V=\pi\cdot \left(\int\limits_{-52}^{0}\left(f\left(x\right)\right)^2\,\text{d}x+\int\limits_{0}^{52}\left(f\left(x\right)\right)^2\,\text{d}x\right)$

$V=\pi\cdot \left(\int\limits_{-52}^{0}\left(88^2-\left(x-36\right)^2\right)\,\text{d}x+\int\limits_{0}^{52}\left(88^2-\left(x+36\right)^2\right)\,\text{d}x\right)$

$V=\pi\cdot \left(\int\limits_{-52}^{0}\left(6448+72x-x^2\right)\,\text{d}x+\int\limits_{0}^{52}\left(6448-72x-x^2\right)\,\text{d}x\right)$

$V=\pi\cdot \left(\left[6448x+36x^2-\frac{x^3}{3}\right]_{-52}^{0}+\left[6448x-36x^2-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{52}\right)$

$V=\pi\cdot \left(0-\left(-\frac{573248}{3}\right)+\frac{573248}{3}-0\right)$

$V=\pi\cdot \frac{1146496}{3}\approx 1200607\text{,}80$

Answer 2

[Wechselfreund]

Volumen der beiden Kugeln minus Volumen von zwei Kugelkappen. Radius des Schnittkreises bzw. Höhe der Kugelkappen lässt sich über Satz des Pythagoras berechnen.

Answer 3

[Rammstein53]

Volumen Kugel:

Vk = 4/3 * r³ * pi

Volumen Kugelsegment:

Vs = pi * h² * (r - h/3)

h ist die Höhe des Segments (ab dem Kugelrand), r ist der Radius der Kugel.

Die Höhe des Segments beträgt

h = 88 - 36 = 52 Einheiten

Das Volumen der linken beschnittenen Kugel ist dann:

Vk - Vs = 4/3 * r³ * pi - (pi * h² * (r - h/3)) = 2152640 * pi / 3 Einheiten

Das dann verdoppeln.

Answer 4

[R4c1ngCube]

Vermutlich könnte ich das

Ich würde versuchen es über Mengeninhalte zu lösen.

Schnittmenge der beiden Kugeln formal aufschreiben.

Dann zu Kugelkoordinaten umwandeln.

Dann durch Sätze deren Namen ich nicht mehr weiß integrieren