Welches Verhältnis besteht zwischen der Fläche eines Quadrates und seines Umkreises?
4 Antworten
Betrachte ein Quadrat mit beliebiger Seitenlänge a. Das Quadrat hat dann den Flächeninhalt...
Mit Satz des Pythagoras kann man zeigen, dass die Diagonalenlänge gleich √(2) ⋅ a ist. Diese Diagonalenlänge ist gleich dem Durchmesser des Umkreises. Der Radius r des Umkreises ist gleich dem halben Durchmesser, also r = √(2)/2 ⋅ a. Für den Flächeninhalt des Umkreises erhält man dann...
Beim Verhältnis der Flächeninhalte von Quadrat und Umkreis kann man a² kürzen und erhält so...
Das Verhältnis vom Flächeninhalt des Quadrats zum Flächeninhalt des zugehörigen Umkreises ist demnach 1 zu π/2, also ungefähr 1 zu 1,57.
Wenn das Quadrat die Kantenlänge a hat, hat es die Fläche
Der Umkreis hat den Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats als Mittelpunkt, und der Radius ist die halbe Diagonalenlänge, also nach dem Satz des Pythagoras die Hälfte von a·\sqrt(2). Das ergibt a/\sqrt(2). Der Flächeninhalt ist das Produkt aus pi und dem Quadrat des Radius, also
Der gesuchte Quotient ist also
Verdoppelung der Fläche eines Quadrates bedeutet Verdoppelung der Kreisfläche.
Das Verhältnis der Fläche eines Umkreises eines Quadrates zur Fläche des Quadrates ist 111%.
Das kann man so nicht sagen, das müßte man ausrechnen.