Welchen Algorithmus verwenden Casio-Taschenrechner zum lösen von Integralen?
Da der casio taschenrechner integrale in sehr kurzer Zeit mit hoher Genauigkeit lösen kann, würde mich mal interessieren welcher Algorithmus verwendet wird.
4 Antworten
zu "integrale in sehr kurzer Zeit mit hoher Genauigkeit lösen kann"
Na das interessiert mich jetzt aber, denn viele Taschenrechner verwenden nur billige Näherungsfunktionen und schon bei der
einfachen sin-Funktion sind sie nicht mal 8 Nachkommastellen genau!
http://www.gerdlamprecht.de/GrobeFPU_Fehler.htm
Tabelle unten.
Wenn nun eine Integration numerisch mit solchen ungenauen Funktion arbeiten (meist
https://de.wikipedia.org/wiki/Simpsonregel oder
https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Quadratur
) dann vervielfältigt sich dieser Fehler!
Deshalb gebe ich Dir mal Aufgaben, und Du Antwortest mal bitte im Kommentar, was Dein Rechner dazu sagt.
Anhand der Antworten kann man dann die wirkliche Genauigkeit und ein mögliches Verfahren herleiten.
§1: Integral 1/(x*ln(x)*(ln(ln(x)))²)dx,x=3...3e66
3e66=3*10^66
§2: Integral x^x dx,x=1/10...51
§3: Integral sqrt((1-x*x)*(1-x*x/2)) dx,x=0...1
sqrt =Wurzel
Den genauen Algorithmus wirst Du vom Hersteller nie bekommen (Patentgeheimnis)!
§1:
Soll:10.4341158367741677171374095035582...
Ist :Error
§2:
Soll:2.474135579541087051214493889338..*10^86
Ist :2,47413558*10^86 also 8 Stellen richtig
§3: EllipticE(1/2) - (EllipticK(1/2))/3
Soll: 0.7326189886138848630422246196...
Ist : 0,6 nicht mal 2 Stellen richtig
Du siehst: Integralrechnung ist nicht immer einfach und Taschenrechner sind nicht immer so genau wie angezeigt...
Ich nehme einmal an, dass es sich um einen Rechner ohne CAS geht. Dann sind nur bestimmte Integrale mittels geeigneter Näherungsverfahren berechenbar.
Welche Algorithmen etwa bei Casio-Rechnern verwendet werden, weiß ich nicht. In Frage käme aber zum Beispiel die Romberg-Integration:
Hier noch 2 Videos zum Verfahren von Romberg:
Ich glaube kaum, dass der Casio echte Integrale lösen kann wie z.B. Maple. Der Casio Rechner wird sich bei bestimmten Integralen durch Näherungsverfahren annähren. Das macht man z.B. mit dem Newton Verfahren und einer bestimmten Schrittweite.
Und wie steht's mit der Simpsonregel? Die ist doch von 3 . Ordnung genau; wenn ich also vier Punkte habe, die immer ein Polynom 3. Grades festlegen. Dann gibt Simpson die exakte Antwort.
Naja, falls du wirklich nur Polynomfunktionen mit Maximalgrad 3 integrieren willst, so passt dies natürlich.
Der Zweck von numerischen Integrationsalgorithmen ist aber der, auch bestimmte Integrale von Funktionen ganz anderer Art näherungsweise zu bestimmen. Schon simple Wurzel- , Exponential- oder trigonometrische Funktionen lassen sich mittels Simpson nur mit großem Rechenaufwand (viele Teilintervalle) und möglicherweise immer noch erheblichen (Rundungs- oder Auslöschungs-) Fehlern integrieren. Die Romberg- (und andere) Methoden sind aber darauf zugeschnitten, mit möglichst wenig Rechenzeit möglichst gute Ergebnisse zu liefern (natürlich auch nur für "nicht zu exotische" Funktionen).
Ergänzend kann man noch sagen: Das Romberg-Schema ist gewissermaßen eine (recht raffinierte) Weiterentwicklung des viel älteren Verfahrens von Simpson.
Bei der ersten Aufgabe habe ich nach ca. 5min Waterei einen Math-Fehler ausgegeben bekommen. Die anderen beiden Aufgaben wurden wie folgt gelöst: 2. 2,47413558*10^86 3. 3/5