Was will uns die Boltzmann Verteilung sagen und wofür die Boltzmann konstante?
Hallo, habe mehrere Texte gelesen und trotzdem nix verstanden
2 Antworten
Ich versuchs mal mit einfachen Worten.
Wenn wir ein geschlossenes System betrachten, z.B. eine Flasche voll Luft, kann man dies auf zwei Arten tun. Einmal auf der makroskopischen Ebene, also die Flasche als Ganzes, oder man betrachtet die Flasche auf der Mikroeben, also die einzelnen Moleküle.
Nun ging es Boltzmann darum, beide Betrachtungen zu vereinen.
Auf der Mikrobene ist es so, dass die Luftmoleküle wild hin und her fliegen. Dabei haben sie aber ganz unterschiedliche Geschwindigkeiten, je nachdem, wie sie gerade mit anderen zusammenstoßen. Boltzmann ging nun her und berechnete theoretisch, wie sich die verschiedenen Geschwindigkeiten wahrscheinlich verteilen. Das tat er wohlgemerkt bevor überhaupt nachgewiesen wurde, dass Luft aus Molekülen besteht. Er war aber sowieso ein großer Visionär, der mit seinen Ideen seinen Kollegen um Jahrzehnte voraus war.
Das Ergebnis, wie sich die verschiedenen Geschwindigkeiten, also die sehr unwahrscheinlichen extrem langsamen und extrem schnellen sowie die sehr wahrscheinlichen mittleren Geschwindigkeit auf die einzelnen Teilchen verteilen, ist die Boltzmannverteilung. Das ergibt Kurven, die sehr ähnlich zu einer Gaußschen Normalverteilung sind, davon aber im Detail doch abweichen.
Hier siehst du Beispiele dafür:
https://de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Boltzmann-Verteilung#/media/File:Mb_N2.png
Durch die Geschwindigkeit besitzen die einzelnen Teilchen jeweils eine eigene thermische Energie, die direkt von der absoluten Temperatur abhängt.
Nun gehen wir auf die makroskopische Ebene. Wenn man die Flasche als Ganzes betrachtet, merkt man von der unterschiedlichen Geschwindigkeit der Teilchen gar nix. Da kann man nur die Durschnittsgeschwindigkeit in Form der Temperatur messen. Diese bleibt, solange keine Energie zu- oder abgeführt wird, immer konstant. Das liegt an dem Boltzmannschen Gesetz der großen Zahl. Dieses Gesetz sagt aus, dass bei einer sehr großen Teilchenzahl (mehr als 1 mol), sich die Unterschiede der Teilchengeschwindigkeiten stets gegeneinander ausgleichen, sodass die Durchschnittsgeschwindigkeit immer konstant bleibt und damit auch die gemessene Temperatur. Der gesamte Flascheninhalt besitzt durch seine Temperatur einen bestimmten Gehalt an innerer Energie. Diese innere Energie ist letztlich die Summe der einzelnen Teilchenenergien.
So, und nun zur Boltzmannkonstanten.
Auf der Mikroebene haben wir festgestellt, dass die durchschnittliche kinetische Energie der Teilchen direkt von der Temperatur abhängt.
Auf der Makrobene haben wir festgestellt, dass die innere Energie direkt von der Temperatur abhängt.
Um nun den mathematischen Zusammenhang zwischen der Temperatur auf der einen Seite und der thermischen Energie (Mikroebene) bzw. der inneren Energie (Makroebene) auf der anderen Seite herzustellen, benötigt man eine Konstante, um das eine in das andere umrechnen zu können. Und diese Umrechnungskonstante ist die Boltzmannkonstante.
Die Boltzmannkonstante ist allerdings nicht nur für oben geschildertes brauchbar. Mit ihr lässt sich ungeheuer viel berechnen, sobald irgendwie Temperatur und Energie eine Rolle spielen. Daher gehört sie mit zu den wichtigsten Konstanten überhaupt innerhalb der Physik.
Schaun wir mal, ob der Link zu dem schönen Diagramm so heil bleibt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Boltzmann-Verteilung#/media/File%3AMb\_N2.png
Wenn das System einen Link kaputtmacht, läßt sich das oft verhindern, indem man das Schriftzeichen, wo es passiert, (hier also den Doppelpunkt), durch den entsprechenden URL-Code ersetzt, d.h.: ein Prozentzeichen und die hexadezimale ASCII-Nummer des Zeichens (hier also %3A).
Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/URL-Encoding
In dem Text von Thomas Band wird das so geschickt gemacht; du maximierst stets die ===> Entropie und wirst geführt auf ===> lokales termodynamisches Gleichgewicht ( LTG ) Eine Temperatur ist nur im LTG definiert.
Fürklaschische Gesamtheiten wirst du auf die Maxwell-Boltzmann-Verteilung geführt, bei ===> Bosonen auf ===> Bose-einstein-Statistik ( Sonderfall ===> Planckstrahler ) und bei ===> Fermionen auf die ===> Fermi-Dirac-Statistik mit ihrem ===> Paulipronzip und der Fermikante ( " Löcherteorie " )
Ich sage immer: Schüler, die keine Ahnung von ===> Differenzialrechnung haben, betrachten die Mathematik mit den Augen eines Kindes, das noch an den Klapperstorch glaubt.
Bist du so eine? Weil dann vergessen wir die ganze Sache. Das wäre so, als wolltest du Prozentrechnung lernen, ohne das 1 X 1 zu können.
Rein von der fragestellung solltest du an sich Physikstudentin sein. Für eine Studentin, die sich also im Reich der DGL zu Hause fühlt, sollte diese kleine Extremwertaufgabe wirklich kein Akt sein - oder wo hängt es?
Sieh ' s doch so. Wir hatten einen Prof, der jedes Semester Termodynamik las - der Masann wurde offen als " Idiot " gehandelt. Termodynamik war bei uns einfach kein Tema. Irgendwo wurde still schweigend voraus gesetzt, wer das braucht, kann sich das in drei Teufels Namen auch selber erarbeiten.
ne, ich studiere Luft und Raumfahrttechnik
Also wie gesagt. Du hattest doch sicher schon mit partiellen DGL ( Strömungen ) oder Variationsrechnung zu tun.
In der Termodynamik haast du doch weiter nix, als dass die Entropie maximal werden soll unter irgendwelchen Nebenbedingungen. Wo drückt der schuh?
ist mein erstes Semester, tut mir Leid
Sei doch nicht gleich so hart. Sie wird ja wohl noch fragen dürfen. Und in der Zeit in der du deine Erklärung zu ihrer "Dummheit" abgegeben hast, hättest du wahrscheinlich schon die ganze Antwort fein säuberlich herausgearbeitet. Jeder darf ja mal Fragen stellen (vor allem wenn die Seite gutefrage.net heißt). Wenn dein obiger Post nicht böse gemeint war, dann tut es mir leid, hier den Moralapostel gespielt zu haben :)
@Maximum12345
Du hast das schon richtig eingeschätzt...ich werde regelmäßig grob angeströmt, wenn ich Ilya Prigogine erwähne, bloß macht mir das nichts aus. Wobei...im Zusammenhang mit Boltzmann habe ich ne ziemlich gute Gelegenheit verpasst, noch nen Schwenk zu Prigogine zu machen. ;-)
Ich finde der Prigogin erzählt einen ziemlichen Stuss. Aber rate mal, was ich von dem gelernt habe. Das e-Gesetz des radioaktiven Zerfalls kann in Strenge gar nicht erfüllt sein.
Als " 4. Hauptsatz " postuliere ich die Aussage:
" Das Universum hat einen tiefsten Energiezustand ( Grundzustand ) E := 0 . "
Wäre dies nämlich nocht der Fall, so gäbe es ein Perpetuum Mobile 3. Art ( PM3 ) ; das wäre eine Vorrichtung, die ein Stück Materie in einen unendlich tiefen Angrund stürzt. Nach Einsteins E = m c ² könntest du aus diesem PM3 einen unendlichen Betrag an freier Energie ziehen, ohne wirklich die beiden ersten Hauptsätze zu verletzen.
Kannst du dich noch erinnern? Asterix & Kleopatra? Wo der " Pirat " im Weltmeer versinkt mit den feierlichen Worten
" Abyssus abyssum invocat ... "
Jeder weiß, dass die Fourier-Transformierte des radioaktiven e-Gesetzes die ===> Lorenzverteilung ist. De Frankfotter sescht ja ganz tippisch
" Mer fasst sisch an de Kopp. "
Zwar besitzt die Lorenzkurve einen WP und geht auch asymptotisch gegen Null. Sie besitzt aber keine Nullstelle und verletzt somit den 4. Hauptsatz ...
Wer MICH kennt, weiß: Ich argumentiere nie trivial. Aus Büchern lerne ich grundsätzlich nie das, was ich nach Ansicht des Mainstream lernen sollte ...
Ich finde der Prigogin erzählt einen ziemlichen Stuss.
Zum Glück ist das, was du findest ziemlich unmaßgeblich. Dafür ist er in der Spitzenphysik anerkannt und findet immer mehr Gehör, weil seine Genialität, die der Einsteins in Nichts nachsteht, immer deutlicher hervorkommt.
Ich will jetzt nicht direkt gegen ihn polemisieren so in dem Sinne, er habe Unrecht. Aber die " normale " Literatur bezieht sich nicht auf ihn.
Er ringt wie so viele Autoren mit dem Problem, wie Zeitumkehr symmetrische Naturgesetze zu gerichteten Prozessen führen können.
Gerade im Zusammenhang mit obigen Zerfallsprozessen schlägt er allen Ernstes einen nicht Umkehr invarianten Hamilton vor; die Antwort suche ich weit eher in dem Umstand, dasss die Schrödingergleichung von erster Ordnung ist, hingegen keine avancierten Wellenlösungen besitzt.
So dunkel habe ich noch in Erinnerung, dass ihn ernsthaft berührt, ob das Dreikörperproblem Lösungen in Wirkungs-und Winkelvariablen besitzt. Das tun ja nicht mal alle linearen Systeme, die i.A. nur fast periodisch sind und eben nicht streng periodisch.
Allein zur Zeitumkehr ( die traditionell bei Physikern keinen guten Ruf hat; wer also auf sich hält, sollte über ein anderes Tema schreiben ) hatten wir ein vier Etagen hohes Regal; am die oberste Etage wärst du ohne Leiter gar nicht ran gekommen. Und sie alle zerfasern, weichen immer mehr vom Tema ab, um ihre 400 Seiten voll zu kriegen ...
Ich will jetzt nicht direkt gegen ihn polemisieren so in dem Sinne, er habe Unrecht.
Das kanst du auch gar nicht mangels Argumenten.
Er ringt wie so viele Autoren mit dem Problem, wie Zeitumkehr
symmetrische Naturgesetze zu gerichteten Prozessen führen können.
Damit ringt er nicht nur, sondern im Gegensatz zu den deterministischen Physikern bietet er sogar die Lösung in seiner Theorie Dissipativer Strukturen, in der er die reale Existenz des Zeitpfeiles zeigt und die zeitsymetrischen Gesetze um diesen erweitert. Darüber geriet er auch in Streit mit Stephen Hawking, den er gewann und der Hawking dazu zwang, eine ganze Reihe seiner Theorien zu revozieren. Nachzulesen hier:
http://www.spiegel.de/spiegel/print/d-13522084.html
Insbesondere an diversen Max-Planck-Instituten wird auf der Basis von Prigogine weitergearbeitet, z.B. zu sehen hier:
https://www.youtube.com/watch?v=rT6ekqvt42k
Es ist doch ganz einfach. Gleich einer Wärmekraftmaschine leben wir hier auf der Erde von dem Temperaturgefälle zwischen der 6 000 K heißen Sonne und dem 3 K kalten Weltraum. Die Erde strahlt ja ihre ganze Abwärme im Infrarotbereich auf der Nachtseite ab; da wird auch ein Ilya nicht widersprechen ( Das ahnten ja schon die ollen ejipter; daher verehrten sie die Sonne als Gott. )
Besonders schön findest du diese Dinge bei ===> Jacques Monod
" Zufall und Notwendigkeit "
Monod
" Denken ist ein exotermer Prozess, weil es Ordnung schafft. "
" Ich habe mir übrigens mal eine QM Vorlesung angetan. Und zwar nicht, weil ich überzeugt wäre, dass ein Biologe wie ich sowas braucht.
Nein ich war es einfach Leid, immer wieder zu lesen, die Unschärfeaussagen der QM stellten einen Gottesbeweis dar; ich wollte autentisch verstehen, was die QM denn nun so tatsächlich behauptet. "
Jetzt weiß ich genau so viel wie am Anfang