Was kann man mit der Eulersche Zahl ausrechnen?
Wozu braucht man die Eulersche Zahl ?
5 Antworten
Das schöne an e hoch x ist, dass es mit der Ableitung übereinstimmt.
Wenn nun gilt f(x)' = f(x), also die Ableitung (= die Veränderungen innerhalb der Funktion) der Funktion entsprechen muss oder dies abgewandelt gilt c*f(x)'=f(x) oder ähnlich (vgl. Differenzialrechnung), ist die Naturkonstante e Teil der Lösung.
Und dass die Veränderungsrate (z.B. Wachstum, Zerfall) mit der Funktion selbst zusammenhängt, hat man häufig genug in den Naturwissenschaften, genauso wie Sinus und Cosinus (deren zweite Ableitung im Übrigen immer fast identisch sind zu den Ausgangsfunktionen). Entwicklungen, die sich mit ihrer Veränderungsrate beschreiben lassen, werden daher häufig mit e, sin oder cos dargestellt.
Vielleicht hilft dir ein Hinweis, wieso die Eulersche Zahl denn überhaupt 2,71828... ist.
Und das will ich dir anhand eines Beispiels erklären:
Du hast ein Kapital von 10.000 €. Und anstatt dir die neuste Karre zu kaufen, gehst du zu einer Bank, die dir sagt, sie bieten dir einen Zinssatz, so dass du nach einem Jahr doppelt so viel Kohle bekommst.
Ein bisschen Kapitalrechnung: Kneu = K * (1+p/100)^n (n=Jahre)
Bei einem Jahr und einem Zinssatz von 100% kommst du dann genau auf 20.000€.
Wenn du jetzt denkst: "Ok, aber ich will mir das nicht nach einem Jahr auszahlen lassen, sondern nach jedem Monat, dann bekomme ich noch Zinseszinsen."
Daraus folgt 10.000*(1+1/12)^12 = 26.130,...€
Weil der Zinssatz ist jetzt nur noch 1/12 und nach 12 Monaten hast du dann 26.130€
Das sind 2,613 mal dein Anfangskapital.
Jetzt willst du es dir nicht monatlich sondern minütlich auszahlen lassen.
Bei 525.600 Minuten pro Jahr bekommst du dann 2,718279... mal so viel.
Du siehst wir nähern uns immer weiter dieser Zahl e an.
Das liegt daran, dass die Steigung der Funktion e^x an jeder Stelle dem y-Wert an dieser Stelle entspricht. --> f'(x) = f(x)
Das ist einzigartig und ich hoffe ich konnte dir mit dem Beispiel auch zeigen, dass die e-Funktion viel mit dem realen Leben zu tun hat.
Zum Beispiel das natürliche Wachstum (einschließlich Atomzerfall).
Darum heißt die Umkehrfunktion von e^x auch ln x.
Das bedeutet: natürlicher Logarithmus
Exponentielles Wachstum wird damit häufig ausgedrückt. Oder man kann komplexe Zahlen damit darstellen.
Die eulersche Zahl schreibt man als "e". Man rechnet sie nicht aus.
er will wissen wofür die Zahl gut ist bzw in welchen Berechnungen sie benötigt wird
Sei nicht so, ich kann Tannibis Frustration nachempfinden.
Ich beantworte, was ich will und wie es mir beliebt.
Auf einen groben Klotz gehört ein grober Keil.
Von mir kam nur einer. Ich finde es halt
nicht ok, wenn man Andere zurechtweist,
nur weil man selbst zu blöd zum Lesen ist.
Vielen Dank für die Hilfe, morgen habe ich einen Mathetest, das wird mir helfen!
- die frage lautet nicht, wie man e berechnet, sondern was man MIT e berechnet
- abgesehen davon: natürlich ist der numerische Wert von e auch manchmal interessant und muss von daher (mit einer bestimmten Genauigkeit) berechnet werden
Och nö, was ist das denn. Man kann von Numerik halten, was man will, aber das auf die ganzen Zahlen zu beschränken, ist schon etwas unpräzise.
Wie kann man eine komplexe Zahl mit e darstellen? Geht es um den Zusammenhang zwischen e und einer Summe aus sin+cos?