Erklär mir die Eulersche Zahl?
Erklär mir die Eulersche Zahl, aber bitte kurz und einfach und verständlich ?
Wo braucht man diese Zahl ?
7 Antworten
Die Eulersche Zahl gibt es in vielen Formeln.
Wie es zu dieser komischen Zahl kam, ist aber ganz interessant. Wenn du 1€ für ein Jahr anlegst und einen Zinssatz von 100% hast, dann hast du nach 1 Jahr 2€ insgesamt.
Jetzt willst du ja aber auch am besten schon Zinseszinsen. Wenn du also jeweils ein halbes Jahr anlegst zu 50% Zinsen, dann hast du über das Jahr verteilt trotzdem 100% Zinssatz, aber bekommst praktisch für deinen Zinsen nochmals Zinsen. Das wird dann folgendermaßen gerechnet:
1€ * 1,5 * 1,5 = 2,25€
Das treibst du weiter und willst für jedes Quartal Zinseszinsen:
1€ * 1,25 ^4 = 2,4414€
Für jeden Tag:
1€ * 1,0027397... ^365 = 2,71456
Wenn du das unendlich lang machst, erhälst du deine Zahl e.
E beschreibt also wie viel Geld du nach einem Jahr bekommst, wenn du 1€ für 100% incl. Zinseszins anlegst.
Stell dir vor, du hast ein Kapital K0 und bekommst dafür 100% pro Jahr Zinsen.
Dann beträgt dein Kapital nach einem Jahr:
K1 = K0 · (1 + 1) = 2 · K0
Nun nehmen wir an, das Kapital wird halbjährlich verzinst, nur mit dem halben Zinssatz, dafür aber mit Zinseszinseffekt. Nach einem Jahr hast du dann:
K2 = K0 · (1 + 1/2)2 = 2,25 · K0
Nun werde das Kapital vierteljährlich verzinst, mit einem Viertel des Zinssatzes. Nach einem Jahr hast du:
K4 = K0 · (1 + 1/4)4 = 2,44 · K0
Nun monatlich:
K12 = K0 · (1 + 1/12)12 = 2,61 · K0
Und nun täglich:
K360 = K0 · (1 + 1/360)360 = 2,7145 · K0
Und nun stündlich:
K8640 = K0 · (1 + 1/8640)8640 = 2,7181 · K0
Und nun noch minütlich:
K518400 = K0 · (1 + 1/518400)518400 = 2,7183 · K0
Du könntest das noch weiter spielen (sekündlich …) und wirst bemerken, dass auch bei unendlich kurzen Verzinsungsintervallen du nicht unendlich viel Geld bekommen wirst, sondern "nur" das 2,7183…-Fache deines Startkapitals.
Erkennst du die Eulersche Zahl wieder?
Die Eulersche Zahl hat hauptsächlich Bedeutung als Basis einer Exponentialfunktion.
So sieht das Verzinsungsbeispiel graphisch aus:
- Schwarz: eine Verzinsung zu 100%
- Blau: zwei Verzinsungen zu 50%
- Grün vier Verzinsungen zu 25%
- Rot: Grenzwert n Verzinsungen zu 1/n
Zusätzlich wurden hier die einzelnen Punkte durch Linien verbunden.
Hier sieht man warum man warum man n Verzinsungen zu einem Zinssatz von 1/n wählt. Nämlich soll die Funktion an der Stelle 0 die Steigung 1 haben. Wenn man von 0 aus 1/n Einheiten nach rechts geht muss der Funktionswert auch um 1/n Einheiten ansteigen. Er steigt also auf (1 + 1/n) an. Wenn man eine ganze Einheit nach rechts geht, geht man n ⋅ 1/n Einheiten nach rechts. Der Wert steigt also n mal um den Faktor (1 + 1/n) von 1 auf (1 + 1/n)ⁿ an. Der Grenzwert dieses Terms ist bekanntlich die Eulersche Zahl. Wenn man in eine Exponentialfunktion 1 einsetzt, bekommt man die Basis. Der rote Funktiongsraph gehört also zu x ↦ eˣ. Diese Exponentialfunktion wurde so konstruiert, dass sie in (0|1) eine Tangentensteigung von 1 hat.
So kann man auch die Tangentensteigungen anderer Punkte berechnen: Der Grenzwert auf der rechten Seite ist genau die Tangentensteigung bei 0, die eben 1 ist. Somit ist die Ableitung der e-Funktion die e-Funktion selber.
Also, man konstruiert eine Exponentialfunktion, die an der Stelle 0 die Ableitung (=Tangentensteigung) 1 hat. Daraus folgt, dass der Funktionswert an der Stelle 1 die Eulersche Zahl ist und somit auch die Basis dieser Exponentialfunktion. Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion (x ↦ bˣ) ist immer die Exponentialfunktion selber mal die Ableitung an der Stelle 0. Diese ist bei der Eulerschen Zahl eben 1.
Die Eulersche Zahl, mit dem Symbol e bezeichnet, ist eine Konstante, die in der gesamten Analysis und allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik, besonders in der Differential- und Integralrechnung, aber auch in der Stochastik eine zentrale Rolle spielt.
Besser als
https://studyflix.de/mathematik/eulersche-zahl-3315
kann ich es auch nicht erklären.
Das wäre toll 100% Zinsen fürs Geld.