Was ist eine Komplexe Zahl?

Eine Komplexe Zahl ist eine zweidimensionale Zahl. Also im Prinzip das gleiche wie ein zweidimensionaler Vektor. Nur das „i“ die Y-Achse ist, und der Realteil die X-Achse.

Damit die weitere Regel i^2=-1 passt, ist die Multiplikation als Addition der Winkel zur X-Achse zu verstehen. i ist ja der Punkt, der bei 1 auf der Y-Achse liegt und bei 0 auf der X-Achse. Winkel zur X-Achse ist 90°. I^2 ist daher der Punkt, der auf 180 Grad zur X-Achse liegt bei ebenfalls Länge 1 und das ist dann -1

√-1 zum Beispiel.

Im allgemeinen ist eine imaginäre Zahl z allerdings definiert als

z=a+bi, oder z=|z|*e^(iφ), wobei i=√-1

Imaginäre Zahlen sind, wie sich schon vermuten lässt, nicht reell. Sie wurden eingeführt um eine Lösung für Gleichungen der Form

(x-a)²+b²=0 zu erhalten, diese ist in dem Fall:

(x-a)²=-b²

x1/2=a±√(-b²)

=a±√((-1)*b²)

=a±√-1*√b²

=a±i*b

-> vgl. mit oben :)

Sie lassen sich als Zahlenpaar darstellen: (a,b).

Dabei ist a der Realteil der Zahl, also Re(z) und eine reelle Zahl.

b ist eine weitere reelle Zahl und bildet mit i ein Vielfaches von diesem, ist also komplex oder imaginär. Man nennt b deshalb auch den Imaginärteil Im(z).

Sei aber vorsichtig: Auch die 1 ist eine komplexe Zahl der Form

z=1+0*i <-> z=1

oder eben (1,0). Die komplexen Zahlen erweitern damit die Zahlenräume.

Die komplexen Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen.

Durch komplexe Zahlen ist das Wurzelziehen aus negativen Zahlen möglich.

Hier wird's genau erklärt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl