Was ist die Jacobi-Matrix. Habe ich die Definition richtig verstanden?
Wenn ich die Erklärung auf Wikipedia richtig verstanden habe, dann ist die Jacobi-Matrix das totale Differential für Funktionen f: R^n ---> R^m
https://de.wikipedia.org/wiki/Jacobi-Matrix
habe ich das richtig verstanden?
4 Antworten
Gegeben sei die Funktion f : R^n -> R^m, f(x) := ( f1(x), f2(x), ... , fm(x) ).
Diese Funktion bildet einen n-dimensionalen Vektor x = ( x1, x2, ... , xn ) auf einen m-dimensionalen Vektor f(x) ab.
Die Jacobi-Matrix Jf hat dann m Zeilen und n Spalten. In den Zellen der Matrix stehen dann die partiellen Ableitungen der Funktion, also z.B. steht in der
i-ten Zeile und j-ten Spalte die partielle Ableitung der Funktion fi nach xj.
Eine partielle Ableitung wird dadurch gebildet, dass nach einer Größe xj abgeleitet wird, wobei alle anderen xk als Parameter betrachtet werden.
https://de.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential
Das totale Differential ist das Produkt der Jacobi-Matrix mit dem Vektor ( dx1, ... , dxn ).
Wenn wir also auf den R^m abbilden, dann ergibt sich dabei ein Vektor.
du hast ne funktion f abhängig von den koordinaten x1 bis xN, die dazugehörige jacobi matrix ist einfach eine matrix in der die ableitungen der funktion nach allen koordinaten stehen.
also du hast n eintrag mit fabgeleitet nach x1 und nen anderen eintrag mit f abgeleitet nach x2 usw.
man hat da ja erstmal partielle ableitungen erster ordnung stehen, ich denke nicht das man die jacobi matrix generell als totales differential für funktionen betrachten kann, da müsste man noch irgendwelche offenheitsbedingungen haben oder sowas.
Ach ich vergaß. Der Support teilte mir mit, man bezwecke, dass wir das WortA nalysis nicht benutzen dürfen. Dies habe nichts mitA nal zu tun, somdern besagter Begriff sei juristisch / geheimdienstlich vorbelastet . . .
Die totale Differenzierbarkeit ist im mathematischen Teilgebiet derA nalysis eine grundlegende Eigenschaft von Funktionen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen über . Mittels dieser Eigenschaft lassen sich viele weitere für dieA nalysis bedeutsame Aussagen über Funktionen zeigen, die bei Verwendung der schwächeren partiellen Differenzierbarkeit nicht gültig sind, welche der üblichen Definition der Differenzierbarkeit einer reellen Funktion als Konvergenz der Differenzenquotienten formal ähnlicher ist. Daher bauen viele weitere Begriffe derA nalysis auf der totalen Differenzierbarkeit auf. In der neueren mathematischen Literatur spricht man meist statt totaler Differenzierbarkeit einfach von Differenzierbarkeit.
Die totale Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt bedeutet, dass diese sich dort lokal durch eine lineare Abbildung approximieren (annähern) lässt, während die partielle Differenzierbarkeit (in alle Richtungen) nur die lokale Approximierbarkeit durch Geraden in allen Richtungen, nicht jedoch als eine einzige lineare Abbildung fordert.
Während die Ableitung einer Funktion an einer Stelle üblicherweise als eine Zahl aufgefasst wird, fasst man im höherdimensionalen Fall die Ableitung als ebenjene lokale lineare Approximation auf. Diese lineare Abbildung kann durch eine Matrix dargestellt werden, die Ableitungsmatrix, Jacobi-Matrix oder Fundamentalmatrix genannt wird (im eindimensionalen Fall ergibt sich dadurch wiederum eine 1×1-Matrix, d. h. eine einzige Zahl). Im eindimensionalen Fall stimmen der klassische reelle, der totale und der partielle Differenzierbarkeitsbegriff überein.
https://de.wikipedia.org/wiki/Totale_Differenzierbarkeit
Dieser Editor macht mich noch wahnsinnig. Ich ixe an: Angemeldet bleiben. Ich schicke ab - bum. Neu anmelden. alles ist weg . . .
Ich zittere schon wieder; ob es diesmal wohl klappt? Wenn nicht, merkt er sich's. Dann habe ich nur noch dann eine Chance, wenn ich mich wieder abmelde . . .
Er findet wieder einen vulgären Ausdruck. Ich muss also in Häppchen abschicken.
das weiß ich alles. Ich will ledeglich wissen ob die Jacobi-matrix das totale Differential ist für Funktionen f: R^n --> R^m ?
Bei Funktionen f: R^n -->R ist das totale Differential die Summe aller partiellen Ableitungen. sowie hier http://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=1059969865240504560
wie sieht die totale Ableitung aber aus für eine Funktion f: R^n-->R^m ?
hier muss ich dann die Jacobi Matrix benutzen richtig? Die jacobi matrix ist also das totale Differential