f(t) = -0,01t³ +0,32t² -2,08t +6,84

f '(t) = -0,03t² +0,64t -2,08

f ''(t) = -0,06t +0,64

Die Ableitungsfunktion ist diejenige Funktion, die jedem t den Steigungswert des Graphen von f zuordnet.

In Aufgabenteil (a) muss also f '(t) = 1 vorausgesetzt werden.

f '(t) = 1

1 = -0,03t² +0,64t -2,08
0 = -0,03t² +0,64t -3,08
0 = -3/100 t² + 64/100 t - 308/100
0 = t² - 64/3 t + 308/3

t = 32/3 +- Wurzel( 1024/9 - 924/9 )
t = 32/3 +- Wurzel( 100/9 )
t = 32/3 +- 10/3

t1 = 22/3
t2 = 14

Interpretation: Um 7:20 Uhr und um 14:00 Uhr nimmt die Temperatur um 1 Grad pro Stunde zu.

Für Aufgabenteil (b) muss f '(t) = 0 gesetzt werden, denn man sucht die Extremstellen von f.

f '(t) = 0

0 = -0,03t² +0,64t -2,08
0 = -3/100 t² + 64/100 t - 208/100
0 = t² - 64/3 t + 208/3

t = 32/3 +- Wurzel( 1024/9 - 624/9 )
t = 32/3 +- Wurzel( 400/9 )
t = 32/3 +- 20/3

t1 = 4
t2 = 52/3

f ''(4) = -0,06 * 4 + 0,64 = 0,4 > 0
f ''(52/3) = -3/50 * 52/3 + 16/25 = -1,44 < 0

Folglich wird um 4:00 Uhr die Tiefsttemperatur und um 17:20 Uhr die Höchsttemperatur des Tages erreicht. Die Tiefsttemperatur wird aber auch um 24:00 Uhr erreicht.

{ (x,y) element von R | wurzel(x²-2) >= 1 , |y+3| <= 5 }

|y+3| <= 5 bedeutet

-5 <= y + 3 <= 5, also

-8 <= y <= 2.

wurzel(x²-2) >= 1 bedeutet

x² - 2 >= 1, also

x² >= 3, somit

|x| >= Wurzel(3), also

x <= -Wurzel(3) oder x >= Wurzel(3).

Im Koordinatensystem trägst du die Punkte

(-Wurzel(3) | -8), (Wurzel(3) | -8), (Wurzel(3) | 2 ), (-Wurzel(3) , 2)

ein.

Und jetzt überlegst du nur noch, welche Bereiche sich ergeben, wenn du die obigen Bedingungen beachtest.

Es muss sowohl

x <= -Wurzel(3) oder x >= Wurzel(3) als auch

-8 <= y <= 2

erfüllt sein.

Gegeben ist die Funktion f mit

f(x) = 1 / x².

Wir wollen den Differentialquotienten an der Stelle x0 = 1 berechnen.

Mit der h-Methode geht das so:

[ f(x0+h) - f(x0) ] / [ x0 + h - x0 ] =

[ f(1+h) - f(1) ] / [ 1 + h - 1 ] =

[ f(1+h) - f(1) ] / h =

[ 1 / (1+h)² - 1 / 1 ] / h =

[ 1 / (1+2h+h²) - 1 ] / h =

[ 1 / (1+2h+h²) - (1+2h+h²) / (1+2h+h²) ] / h =

[ ( 1 - (1+2h+h²) ) / (1+2h+h²) ] / h =

[ ( 1 - 1 - 2h - h²) / (1+2h+h²) ] / h =

[ ( - 2h - h²) / (1+2h+h²) ] / h = 

[ ( - 2h - h²) / (1+2h+h²) ] : h =

( - 2h - h²) / (1+2h+h²) * 1 / h =

( - 2h - h²) / [ h (1+2h+h²) ] =

[ h (-2 - h) ] / [ h (1+2h+h²) ] =

(-2 - h) / (1+2h+h²)

lim_{h->0} (-2 - h) / (1+2h+h²) = (-2 - 0) / (1+2 * 0+0²) =

-2 / 1 = -2 = f '(1) = f '(x0)

....................................

Mit elementaren Ableitungsregeln geht das so:

Es ist f(x) = 1 / x² = 1 * x^(-2) = x^(-2).

Dann ist f '(x) = -2 x^(-3) = -2 / x³.

Mit x0 = 1 ergibt sich dann

f '(x0) = f '(1) = -2 / 1³ = -2 / 1 = -2.

Seien a und b die Seiten des Rechtecks. 

Extremalbedingung: Umfang soll minimal sein, also stellen wir die Formel des Umfangs eines Rechtecks auf.

u(a,b) = 2a + 2b

Nebenbedingung: Die Fläche des Rechtsecks soll 400 cm² sein, also stellen wir die Formel der Fläche eines Rechtecks auf und setzen diesen Flächeninhalt auf den Wert 400.

A(a,b) = a * b,

a * b = 400.

Umformen der Nebenbedingung nach b:

b = 400 / a.

Nun wird b durch 400 / a in der Extremalbedingung ersetzt, man erhält dadurch die Zielfunktion:

u(a) = 2a + 2 * 400 / a,

u(a) = 2a + 800 / a

An dieser Stelle kommt man nur noch mithilfe der Differentialrechnung weiter.

Mit u(a) = 2a + 800 a^(-1) ist dann

u'(a) = 2 - 800 a^(-2) = 2 - 800 / a²,

u''(a) = 1600 a^(-3) = 1600 / a³.

Wir suchen den Tiefpunkt der Kurve von u, also stellen wir die 1. Abelitung u'(a) auf Null:

u'(a) = 0,

0 = 2 - 800 / a²,

800 / a² = 2,

800 = 2a²,

400 = a²,

a = 20.

Einsetzen von a=20 in die 2. Ableitung ergibt

u''(a) = u''(20) = 1600 / 20³ > 0, folglich Linkskurve, also lokales Minimum in a=20.

Dann ist b = 400 / a = 400 / 20 = 20.

Die Seitenlängen des Rechtecks sind

a = 20 cm und b = 20 cm, also ist das Rechteck ein Quadrat.

Parallele Tangenten heißt: m_f = m_g bzw. f '(x)=g '(x), also

e^x = 1, somit x=0.

Dann ist P(0|1) und Q(0|0).

Die Tangente an das Schaubild von f im Punkt P ist

t : y = x + 1.

Gegeben sei die Funktion f : R^n -> R^m, f(x) := ( f1(x), f2(x), ... , fm(x) ).

Diese Funktion bildet einen n-dimensionalen Vektor x = ( x1, x2, ... , xn ) auf einen m-dimensionalen Vektor f(x) ab.

Die Jacobi-Matrix Jf hat dann m Zeilen und n Spalten. In den Zellen der Matrix stehen dann die partiellen Ableitungen der Funktion, also z.B. steht in der

i-ten Zeile und j-ten Spalte die partielle Ableitung der Funktion fi nach xj.

Eine partielle Ableitung wird dadurch gebildet, dass nach einer Größe xj abgeleitet wird, wobei alle anderen xk als Parameter betrachtet werden.

f(x) = -1/6*x³+x²-2

f ' (x) = -1/2 x² + 2x

f '' (x) = - x + 2

f '' (x) = 0

0 = - x + 2

x = 2

f ' (2) = -1/2 * 2² + 2*2 = -2+4 = 2

An der Stelle x=2 steigt der Graph von f am stärksten, und diese Steigung ist 2.

f(x) = -5x² ist sowohl in Normal- als auch in Scheitelpunktform.

Und bevor hier jetzt wieder jemand meint, dass das keine Normalform, sondern eine allgemeine Form ist: In der Schule wird didaktisch reduziert, und daher nennt sich das z.B. in Baden-Württemberg sogar auf dem Gymnasium Normalform und nicht allgemeine Form.

Die Scheitelpunktform lautet:
f(x) = a(x-d)²+e

Für a = -5, d = 0 und e = 0 ergibt sich

f(x) = -5(x-0)²+0 = -5x²

Die Normalform lautet:
f(x) = ax² + bx + c

Für a = -5, b = 0 und c = 0 ergibt sich

f(x) = -5x² + 0x + 0 = -5x²

Obwohl man weiß, dass gerade Funktionen immer achsensymmetrisch zur y-Achse und ungerade Funktionen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind, kommt man nicht drumherum, das auch mathematisch mit einem Rechenweg zu begründen.

Aus f(-x) = f(x) folgt die Achsensymmetrie zur y-Achse.

Aus -f(-x) = f(x) folgt die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.

Das bloße Erkennen gerader bzw. ungerader Funktionen ist nur eine Hilfe, ersetzt aber nicht das Rechnen.

Beispiele:

1) f(x) = cos(x)

Es ist f(-x) = cos(-x) = cos(x) = f(x) für alle x. Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

2) g(x) = sin(x)

Es ist -g(-x) = -sin(-x) = sin(x) = g(x) für alle x. Der Graph von g ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

3) h(x) = 1/x

Es ist -h(-x) = -1/(-x) = 1/x = h(x) für alle x auf dem Definitionsbereich D=R\{0}. Der Graph von h ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

4) i(x) = x^4-x²+3

Es ist i(-x) = (-x)^4-(-x)²+3 = x^4-x²+3 = i(x) für alle x. Der Graph von i ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Sei die Funktionsschar fb gegeben durch fb(x) = -4/3 x³ + bx + 4.

Dann ist die Menge aller Stammfunktionen von fb gegeben durch

Fb(x)=-1/3 x^4 + 1/2 b x² + 4x +c

Da die Punkte P( 3 ; -7 ) und Q( 1 ; 11/3 ) auf dem Graphen von Fb liegen sollen, muss gelten:

Fb(3) = -7 und Fb(1) = 11/3 Damit ergibt sich das Lineare Gleichungssystem

I.   -7     = -1/3 * 3^4 + 1/2 b * 3² + 4*3 + c
II.  11/3 = -1/3 * 1^4 + 1/2 b * 1² + 4*1 + c

I.    -7     = -27 + 9/2 b + 12 + c
II.   11/3 = -1/3 + 1/2 b + 4 + c

I.     8     = 9/2 b + c ... folglich c = 8 - 9/2 b
II.   0      = 1/2 b + c ... folglich c = -1/2 b

Gleichstellen ergibt

8 - 9/2 b = -1/2 b

8 = 4 b

b = 2

Dann ist c = -1/2 * 2 = -1

Probe: -1 = 8 - 9/2 * 2 = 8 - 9 = -1

Dann ist die gesuchte Stammfunktion

F2(x) = -1/3 x^4 + x² + 4x - 1

Das Schaubild einer Funktion von der Form f(x) = c mit einer konstanten, reellen Zahl c ist eine Gerade mit der Steigung m=0 und somit eine waagerechte Gerade zur x-Achse. Eine Parallele zur x-Achse kann also Schaubild einer Funktion sein.

Eine Parallele zur y-Achse kann dagegen nicht das Schaubild einer Funktion sein, denn dann würde die Definition einer Funktion nicht erfüllt werden. Eine Funktion ist eine Abbildung, die jedem x-Wert höchstens einen y-Wert zuordnet. Bei einer Parallelen zur y-Achse werden aber einem x-Wert unendlich viele y-Werte zugeordnet.

In deiner Aufgabenstellung sind zwei voreinander getrennte Informationen über zwei unbekannte Zahlen a und b. Aus diesem Grund kannst du nicht nur 1 Gleichung, sondern musst 2 Gleichungen aufstellen.

Gleichung1: Die Summe von a und b ist 518. Man addiert also a und b und erhält 518

a + b = 518

Gleichung2: Die Differenz von a und b ist 204. Man subtrahiert also b von a und erhält 204

a - b = 204

Möchte man nun noch a und b berechnen, dann betrachtet man das Lineare Gleichungssystem

I. a + b = 518
II. a - b = 204

Am günstigsten verfährt man jetzt nach dem Additionsverfahren, denn b - b = 0, man addiert die beiden Gleichungen I. und II.

I. + II.: a + a + b - b = 518 + 204

2a = 722      | :2

a = 361

Setze dies in I. ein:

361 + b = 518     | -361

b = 518 - 361

b = 157

Probe mit der Gleichung II.:

361 - 157 = 204

204 = 204 w.A.

Antwort: Die gesuchten Zahlen sind 157 und 361.

Da es sicherlich jetzt nicht unedingt eine Knobelaufgabe, sondern eine Rechenaufgabe sein sollte, präsentiere ich hier noch den Rechenweg.

Sei n eine natürliche Zahl. Dann ist n + 1 der direkte Nachfolger der Zahl n. Also sind die Zahlen n, n + 1, n + 2 und n + 3 vier natürliche, aufeinander folgende Zahlen. Diese Zahlen sollen in der Summe 66 ergeben, also gilt

n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 66

4 * n + 6 = 66

4 * n = 60

n = 15

Somit n + 1 = 16, n + 2 = 17 und n + 3 = 18.

Antwort: Die Zahlen 15, 16, 17 und 18 ergeben in der Summe 66.