Differentialquotient für 1/x^2?

Wie berechnet man den differentialquotienten für y=1/x^2 bei x0=1 ?

Answer 1

[everysingleday1]

Gegeben ist die Funktion f mit

f(x) = 1 / x².

Wir wollen den Differentialquotienten an der Stelle x0 = 1 berechnen.

Mit der h-Methode geht das so:

[ f(x0+h) - f(x0) ] / [ x0 + h - x0 ] =

[ f(1+h) - f(1) ] / [ 1 + h - 1 ] =

[ f(1+h) - f(1) ] / h =

[ 1 / (1+h)² - 1 / 1 ] / h =

[ 1 / (1+2h+h²) - 1 ] / h =

[ 1 / (1+2h+h²) - (1+2h+h²) / (1+2h+h²) ] / h =

[ ( 1 - (1+2h+h²) ) / (1+2h+h²) ] / h =

[ ( 1 - 1 - 2h - h²) / (1+2h+h²) ] / h =

[ ( - 2h - h²) / (1+2h+h²) ] / h = 

[ ( - 2h - h²) / (1+2h+h²) ] : h =

( - 2h - h²) / (1+2h+h²) * 1 / h =

( - 2h - h²) / [ h (1+2h+h²) ] =

[ h (-2 - h) ] / [ h (1+2h+h²) ] =

(-2 - h) / (1+2h+h²)

lim_{h->0} (-2 - h) / (1+2h+h²) = (-2 - 0) / (1+2 * 0+0²) =

-2 / 1 = -2 = f '(1) = f '(x0)

....................................

Mit elementaren Ableitungsregeln geht das so:

Es ist f(x) = 1 / x² = 1 * x^(-2) = x^(-2).

Dann ist f '(x) = -2 x^(-3) = -2 / x³.

Mit x0 = 1 ergibt sich dann

f '(x0) = f '(1) = -2 / 1³ = -2 / 1 = -2.

Answer 2

[M4lt3]

Kommt drauf an, wie weit ihr schon mit dem Stoff seit, das einfachste wäre einfach Ableiten und 1 einsetzen aber ich denke du wirst das wohl oder übel mit der h-Methode oder ähnlichem machen müssen

Comments

[Spongifreak01]

Die Ableitung wäre doch (-2x)^-3
Oder?

[everysingleday1]

@Spongifreak01

f '(x) = -2 x^(-3) = -2 / x³,

und das ist nicht das Gleiche wie (-2x)^-3 , denn

(-2x)^-3 = 1 / (-2x)³ = 1 / (-8x³) = - 1 / (8x³).