Was ist der Unterschied zwischen einer Geradengleichung und einer Tangentengleichung?
Meine erste Frage steht oben. Ich scheibe morgen eine Arbeit und haben von der Tangentengleichung keinen Plan. Und wie kann man die Gleichung einer Tangente angeben ? Ich hab damals gefehlt und hab jetzt nur die Zettel vor mir und keinen Plan wie das geht. Bsp. f(x) = 3x^2 , x0 = 1 wie kann man jetzt die Tangentengleichung angeben ? Ich weiß, dass die Frage hier nicht so passt aber vielleicht kann mir ja trotzdem jemand helfen.
3 Antworten
Die Tangente als Funktion sei t(x) (zur Unterscheidung von der Funktion f(x), an die sie Tangente ist).
Zum Auswendiglernen:
t(x) = f(x0) + (x - x0) f'(x0); (1)
( x0 | f(x0) ) Koordinaten des Berührpunkts,
f'(x0) Wert der Ableitung von f an der Stelle x = x0.
Zur Anschauung.
t(x0) = f(x0) ist y-Koordinate des Berührpunkts. Da die Tangente überall die Steigung f'(x0) hat, ist für alle Punkte der Tangente des Verhältnis der y-parallelen Kathete zur x-parallelen Kathete im Steigungsdreieck:
( t(x) - t(x0) ) / ( x - x0 ) = f'(x0)
mit Ersetzen von t(x0) durch f(x0) und Umstellen nach t(x) folgt Gleichung (1).
Eine Tangente ist eine spezielle Gerade, nämlich eine, die eine Funktion berührt. Die Steigung im Punkt (1|f(1)=3) ermittelst du über die Ableitung: f'(1) = 6. Jetzt weißt du, dass 3 = 6 * 1 + b ist. Nach b umstellen und dann in f(x) = mx + b für m=f'(1) und b einsetzen.
Hier schätze ich die Situation so ein, dass mit Kanonen auf Spatzen geschossen werden würde. Du denkst an dieser Stelle weiter als notwendig.
Interessant ist es aber allemal ;)
Eine Tangentengleichung berührt/tangiert wie der Name schon sagt nur die Funktion/den Punkt, während die Geradengleichung ihn auch schneiden kann. MfG
Stimmt; die Gleichung lässt sich aber auch nach Berechnung von f'(3) = 1 ohne weitere Rechnung sofort hinschreiben (s.u.)
Und "spätestens" zur Herleitung des Newton-Verfahrens (Näherung) ist ohnehin nötig, diese Gleichung zu kennen.