Was ist der genaue Unterschied zwischen unendlich und "abzählbar-unendlich"?

Alles Unendliche ist zunächst einmal unendlich groß.
Und dann gibt es wieder Unterteilungen, sobald man sich an den Begriff gewöhnt hat.

Abzählbar unendlich sind solche Mengen, deren Elemente man zählen kann.
Überabzählbar sind sie, wenn, obwohl man meint, alle Elemente gezählt zu haben, sich doch noch immer wieder welche zwischen den anderen finden lassen.

Und wenn man dann schon dabei ist, finden sich immer neue Mächtigkeiten. So nennt man nämlich die "Anzahlen" in den Mengen.

WIKI:

In der Mengenlehre wird eine Menge als abzählbar unendlich bezeichnet, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen . Dies bedeutet, dass es eine Bijektion zwischen und der Menge der natürlichen Zahlen gibt, die Menge also „durchnummeriert“ werden kann.

Zu den höchstens abzählbaren Mengen zählen neben den abzählbar unendlichen auch kleinere, also endliche Mengen. Die Verwendung des Begriffes abzählbar ist nicht einheitlich. Er kann je nach Definition sowohl abzählbar unendlich als auch höchstens abzählbar bedeuten.

Eine Menge, die weder endlich noch abzählbar unendlich ist, wird als überabzählbar bezeichnet.

Die Mächtigkeit einer abzählbar unendlichen Menge wird – als Kardinalzahl – mit (gesprochen: alef null) bezeichnet, etwa gilt . Zu dieser Bezeichnung siehe auch Aleph-Funktion.

Es gibt in der Standard-Mathermatik mehrere Unendlichkeitsstufen.

Die kleinste ist die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen.

Die natürlichen Zahlen {1, 2, 3, ...} sind per definitionem abzählbar (und es gibt unendlich viele).

Man kann nun beweisen, dass auch die Menge der ganzen Zahlen Z = {0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, ...} und auch die Menge der rationalen Zahlen (Bruchzahlen) Q abzählbar sind.

Die Menge der reellen Zahlen R (komplette Zahlengerade) ist hingegen nicht abzählbar. Der Beweis ist ein Widerspruchsbeweis, in dem gezeigt wird, dass bei der Annahme, dass alle reellen Zahlen abgezählt sind, sich immer noch eine finden lässt, die man ausgelassen hat. Dartauf hat der Experte hier verwiesen.

Allgemein kann man zeigen, dass die Potenzmenge P(M) einer Menge M immer mächgtiger ist als M. Daraus folgt, dass ...

... genau, dass es unendlich viele Unendlichkeitsstufen gibt.

Man kommt aber in der gewöhnlichen Mathematik meist mit zwei Unendlichkeitsstufen aus, nämlich der abzählbaren Stufe (die gleichmächtig zu der Menge der natürlichen Zahlen ist) und der überabzählbaren Stufe, die gleichmächtig zu den reellen (und auch komplexen) Zahlen ist.

Also |N| = |Z| = |Q| < |R| = |C|,

wobei N die natürlichen, Z die ganzen, Q die ratinalen, R die reellen und C die komplexen Zahlen sind.

Abzählbar unendliche und überabzählbar unendliche Mengen sind beide Mengen mit unendlich vielen Elementen, aber in der ersten sind sozusagen Lücken, in der anderen nicht.

Beispiel einer abzählbar unendlichen Menge sind die natürlichen Zahlen, denn zu jeder beliebig großen natürlichen Zahl kann man Eins dazu addieren und erhält die nächst größere natürliche Zahl. Zwischen zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen gibt es aber keine weitere natürliche Zahl ("Lücke").

Beispiel einer überabzählbar unendlichen Menge sind die reellen Zahlen, denn zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen liegen unendlich viele reelle Zahlen.

Unendlich ist ein Überbegriff.

Abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich sind genauere Unterscheidungen, die sich gegenseitig ausschließen.