Was bedeutet dieses mathematische Zeichen? Es sieht aus wie ein Plus?
(blau eingekreist)
4 Antworten
Hallo.
Das ist ein plusminus-Zeichen und bedeutet, dass an dieser Stelle ein Plus oder ein Minus stehen kann.
Besonders bei Wurzeln wird dieses Zeichen gerne benutzt, da das Ergebnis einer Wurzel sowohl positiv als auch negativ sein kann.
Beispiel: 2² = 4 aber auch (-2)² = 4, daher gilt, dass Wurzel aus 4 gleich 2 aber auch gleich -2 sein kann. Und damit kommt dann die Schreibweise zum Zuge: Wenn es nur um Längenberechnungen geht, betrachtet man nur die positiven Ergebnisse der Wurzel, z.B. beim Satz des Pythagoras. Wenn es aber um das Lösen von quadratischen Gleichungen geht, wird auch die negative Lösung wichtig und ist sogar gleich bedeutungsvoll wie die positive.
Viele Grüße und frohe Weihnachten!
Dem möchte ich widersprechen. Reelle Wurzeln sind nur die reellwertigen Resultate von im komplexen gezogenen Wurzeln reeller Zahlen.
Das Bild der n-ten Wurzel einer komplexen Zahl z\{0} sind immer n paarweise verschiedene Punkte auf der komplexen Ebene in äquidistantem Abstand auf einem Kreis um den Nullpunkt.
Bildet man die n-te Wurzel einer reellen Zahl, liegt eine dieser Lösungen immer auf der positiven x-Achse und im Falle, dass n gerade ist, gibt es eine weitere Lösung auf der negativen x-Achse.
Die negative Lösung einer quadratischen Wurzel ist im reellen immer vorhanden, sie ergibt nur ggf. in der entsprechenden Anwendung keinen Sinn, z.B. eine negative Länge.
Das ist auch der Grund, warum beim Quadrieren immer nur Folgerungspfeile benutzt werden dürfen und keine Äquivalenzpfeile. Die Rückfolgerung ist nämlich nur dann möglich, wenn beide Wurzelergebnisse im vorherigen Schritt vorhanden sind.
Die einzige Ausnahme, die ich Dir da zugestehen möchte ist der Fall, in dem die Wurzel als Funktion betrachtet wird. Da Funktionen einem Eingangswert des Definitionsbereiches exakt einen Wert des Bildbereiches zuordnen müssen, war es erforderlich, die Wurzel als nur positiv zu definieren und den negativen Zweig wegfallen zu lassen. Diese Konvention gilt auch für komplexwertige Wurzelfunktionen. Es geht aber dem Fragesteller nicht explizit um Funktionen.
Okay, auf Uni-Niveau und mit komplexen Zahlen will ich dir da nicht widersprechen, da hast du anscheinend doch deutlich mehr Ahnung als ich. Da in der Schule, und darauf beziehen sich solche Fragen ja meistens, aber ja nur mit reellen Zahlen gerechnet wird und eben die Wurzelfunktion auch nur dann für Zahlen größer oder gleich 0 definiert ist, weiß ich nicht, ob sowas dann nicht mehr verwirrt.
Da hast Du nicht ganz unrecht, ich denke aber, dass es für Schüler weniger verwirrend ist, wenn sie die Wurzel einer Zahl direkt als etwas mit zwei möglichen Lösungen kennenlernen, von denen die negative Lösung meist ignoriert wird, da es (anfangs meist) um Längen geht. Wenn es dann an quadratische Gleichungen geht, die für die meisten Schüler ohnehin schon ein ordentliches Brett sind, müssen sie in diesem Moment nicht noch dazu extra die Hürde nehmen, dass eine Wurzel auf einmal zwei Lösungen produziert.
Ich werde das noch mal nachprüfen, insbesondere auf den Hinweis von Wechselfreund hin.
Hallo und danke für den Hinweis.
Ich halte den Eintrag bei Wikipedia nicht für falsch, er betrachtet nur sehr direkt die Wurzel als Funktion, so dass eine eindeutige Lösung für die Wurzel einer reellen Zahl natürlich notwendig ist.
D.h. Wikipedia definiert die Wurzel als positiv, erwähnt dann aber, dass eigentlich zwei Lösungen für eine quadratische Gleichung existieren und definiert diese Lösungen dann als Wurzel x und minus Wurzel x. In den Vorbemerkungen wird dann auch geschrieben, dass "Im Allgemeinen ... zwei verschiedene Zahlen, deren Quadrate mit einer vorgegebenen Zahl übereinstimmen" existieren.
Bei der von mir oben beschriebenen Betrachtungsweise wird die Wurzel als eine Zuordnung betrachtet, die jedem reellen y>0 die zwei reellen Zahlen x_1 und x_2 zurodnet, die quadriert y ergeben. Die Lösung für eine quadratische Gleichung ist also Wurzel y, was zwei Werten entspricht. Um eine Wurzelfunktion anzugeben, wird die Wurzelfunktion als Zuordnung zu dem positiven der beiden Werte definiert.
Ich denke, dass an dieser Stelle zwei Betrachtungsweisen aufeinanderprallen, die jede für sich nicht falsch sind, aber verschiedene Schwerpunkte legen, d.h. einmal "Wurzel als Funktion" und einmal "Wurzel als Zuordnung". Letzteres ist der allgemeinere Weg und daher mein Favorit, bzw. das, was ich mir gemerkt habe.
Ich werde darüber noch ein wenig nachdenken. Grundsätzlich halte ich es aber für wichtig, immer im Hinterkopf zu behalten, dass Quadratwurzeln immer zu zwei Lösungen (oder der Null) führen. Spätestens bei quadratischen Gleichungen wird das wichtig und allerspätestens im Bereich der komplexen Analysis ist es wichtig, dass n-te Wurzeln grundsätzlich n verschiedene Lösungen haben (oder die Null), es sei denn man arbeitet mit Funktionen (wo es dann relativ aufwändig ist, der n-ten Wurzel eine Eindeutigkeit aufzudrücken.)
Danke noch mal für den Hinweis und frohe Weihnachten!
Dir auch und danke für die ausführlichen Betrachtungen. Noch ein Gedanke: Die allseits beleibte pq-Formel geht doch auch davon aus, dass die Quadtatwurzel (nur) positiv ist, denn sonst würde das ± davor ja zu Verwirrung führen.
Es bedeutet Plus/Minus (±) und wird verwendet, um bei zwei Lösungen anzuzeigen, dass eine Lösung mit + und die
andere mit - erreicht wird.
x = 2 ± 3
x₁ = 5
x₂ = -1
Es ist auch eine in der Schule oft benutzte Kurzform für die Anzeige, dass die Quadratwurzel aus einer Zahl auch negativ sein kann.
√36 = ± 5
Das ist trotzdem nicht richtig.
Die Quadratwurzel einer nicht-negativen reellen Zahl a ist als diejenige nicht-negative reelle Zahl definiert, welche quadriert die Zahl a ergibt.
Demnach ist √(36) = 6, √(36) ≠ -6.
Zwar hat hat die Gleichung x² = 36 zwei reelle Lösungen x = ±6. Allerdings ist nur eine davon √(36), die andere ist -√(36).
Das ist so übrigens nicht ganz richtig. Eine Wurzel ist immer nur positiv, aber das Ergebnis einer z. B. quadratischen Gleichung kann die Wurzel mit positivem und negativem Vorzeichen sein.
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Lieber FS:
zunächst muss ich dir sagen, dass hier immer wieder die reine Lehre vertreten wird, die in der Schule zweckmäßigerweise erst einmal ausgeblendet wird. Dort hat 36 zwei Wurzeln, bis ihr das in höheren Klassen umständlicher definiert. Solange hältst du dich besser an das, was der Lehrer sagt. Der möchte noch eine ganze Weile ± bei einer Wurzel sehen. Und ihr sollt euch daran gewöhnen, dass es normalerweise so ist.
Wäre dieses "Plusminus" nicht unnötig, wenn die Wurzel von sich aus schon positiv und negativ sein kann?
Es ist ja auch als Hilfe gedacht für die, die zu Beginn nicht zu entscheiden vermögen, ob das Ergebnis eventuell auch nur ein Vorzeichen hat (3. Wurzel aus negativen Zahlen z.B.)
Es ist ein "Plus Minus".
Das bedeutet: dort steht entweder ein Plus oder ein Minus.
Das ist ein Plusminus. Im Wesentlichen steht es für "√a + √b oder √a - √b".
Das ist so nicht ganz richtig. Eine Wurzel ist immer nur positiv, aber das Ergebnis einer z. B. quadratischen Gleichung kann die Wurzel mit positivem und negativem Vorzeichen sein.