Was bedeutet die Mandelbrot-Menge?
Hab mir schon den Wikipedia Beitrag dazu angeschaut, verstehe ihn aber nicht. Ich möchte keine mathematische Erklärung oder so, sondern nur wissen was die Bedeutung davon ist. Wozu es die Mandelbrot-Menge gibt, was das besondere an ihr ist und welche Bedeutung sie eben hat.
4 Antworten
Bedeutung. Hm. Die Mandelbrotmenge ist ja erstmal ein Beispiel für ein bestimmtes mathematisches Phänomen, nämlich der Selbstähnlichhkeit. Es ist nicht so, dass man jetzt die Mandelbrotmenge für irgendetwas bestimmtes einsetzt.
Interessant ist eben die zugrundeliegende Mathematik und in gewisser Weise die Rezeptionsgeschichte, nämlich das Interesse der Öffentlichkeit an diesem mathematischen Konstrukt und der damit verbundenen, als ästhetisch besonders schön empfundenen graphischen Darstellung.
Das dahinter liegende mathematische Problem ist eigentlich ganz einfach. Man betrachtet rekursiv definierte Folgen von komplexen Zahlen. Diese Folgen haben einen Parameter, so was wie eine Grundeinstellung. Je nach dem, wie man diesen Grundeinstellung auswählt, bekommt man eine andere Folge. Die Grundeinstellung ist eine komplexe Zahl.
Und jetzt schaut man sich diese Folgen an. Manche davon werden ganz schnell riesig groß, andere konvergieren, nähern sich also einem festen Punkt an, oder sind beschränkt, ohne zu konvergieren. Ich kann also jeder Grundeinstellung ein bestimmtes Folgenverhalten zu ordnen - und jetzt verpasse ich jeder dieser Grundeinstellungen eine Farbe, je nach dem, welches Folgenverhalten sie erzeugt.
In der einfachsten Darstellung sieht das dann so aus: https://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge#/media/Datei:Mandelset_hires.png
Grundwerte, bei denen die Folge beschränkt ist (also z. B. konvergiert), sind schwarz, Grundwerte, bei denen sie das nicht tut, sind weiß.
Nun kann man noch die Folgen, die nicht konvergieren, nach ihrer Geschwindigkeit einordnen und dafür unterschiedliche Farben vergeben, dann wird das Bild entsprechend bunter.
Das interessante ist jetzt, wie diese Bilder aussehen, insbesondere wenn man sie an einer Stelle immer weiter vergrößert... und da sind sie eben hübsch (nicht so interessant für die Mathematiker) und selbstähnlich (also wiederholt sich im Kleinen das, was man im Großen schon gesehen hat.
Leichter als es auf Wikipedia beschrieben ist kann ichs dir auch nicht erklären.
Die Grafische Darstellung dieser Menge hat größtenteils nur künstlerischen Charakter, allerdings gibt es zwischen der Mandelbrotmenge und einigen mathematischen Teilgebieten verbindungen zB zur Chaostheorie, da es eine sehr einfache Folge ist die unter bestimmten Parametern chaotisches Verhalten aufweist.
Es gibt darüber hinaus auch einen Zusammenhang zu den sogenannten Juliamengen (nämlich die Juliamengen komplexer quadratischer Polynome), diese Mengen verwendet man wiederum zur Untersuchung von holomorphen Funktionen heranziehen kann.
Eine äußerst große Bedeutung hat die Menge allerdings nicht.
Die Mandelbrotmenge ist die Menge der komplexen Zahlen, bei der das Resultat auch nach unendlicher Anwendung der u.a. Rechenoperation endlich bleibt. Also der Punkt nach jeder Rechenoperation wieder innerhalb der Menge ist.
Die hübsch eingefärbten Bereiche gehören nicht zu dieser Menge, sondern geben die Anzahl der Rechenschritte an, nach der das Resultat offensichtlich gegen unendlich zu streben beginnt.
Die Mandelbrotmenge ist ein Paradebeispiel für die Chaostheorie, weil kleinste Unterschiede zwischen Enthaltensein und Nichtenthaltensein entscheiden können. Die Bedeutung liegt in der Anschaulichkeit. Auch oder gerade dem Laien sagt ein Bild (oder Film) mehr als tausend Worte.
Andere gut zu sehende Dinge sind auch Selbstähnlichkeit und gebrochene Dimensionen, weitere Aspekte (oder Schlagwörter) der Chaostheorie. Da bin ich aber nicht (mehr) so drin, dass ich mich darüber auslasse.
Alle Kompelxen Zahlen die, wenn eingesetzt in die Folge
Z0=0
Zn = (Zn-1)^2 +C
"Sich im Kreis drehen".