Warum muss die zweite Ableitung bei Extrempunkte ungleich 0 sein?
Ich muss demnächst eine mündliche Nachprüfung in Mathe machen.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen
5 Antworten
Vermutlich meinst du die (erste) hinreichende Bedingung für ein Extremum.
Wenn die 2. Ableitung ungleich 0 ist, verhält sich die Funktion in einer "hinreichend kleinen" Umgebung wie eine Parabel (2. Ordnung). Wenn hier die 1. Ableitung 0 ist, muss an dieser Stelle ein Extremum vorliegen.
Wenn die ersten beiden Ableitungen an einer Stelle 0 sind, können wir allein hieraus noch nicht entscheiden, ob ein Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt.
Das stimmt so nicht.
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Gegenbeispiel:
Betrachte die durch f(x) = x⁴ gegebene reelle Funktion f.
Für alle x ∈ ℝ ist f(x) = x⁴ ≥ 0 = 0⁴ = f(0). Daher hat die Funktion bei f bei x = 0 ein Minimum.
Andererseits ist ...
f(x) = x⁴
f'(x) = 4x³
f''(x) = 12x²
f''(0) = 12 ⋅ 0² = 0
Die zweite Ableitung von f hat also an der Stelle x = 0 den Wert 0.
Die betrachtete Funktion f hat also bei x = 0 ein Extremum, obwohl die zweite Ableitung dort nicht ungleich 0 ist.
Wie man anhand des Gegenbeispiels sehen kann, ist die Bedingung, dass die zweite Ableitung ungleich 0 ist, nicht notwendig für das Vorliegen einer Extremstelle.
Zusammen mit der Bedingung, dass die erste Ableitung gleich 0 ist, ist die Bedingung jedoch hinreichend ...
Wenn f eine mindestens zweimal differenzierbare reelle Funktion ist und man eine Stelle x = a mit f'(a) = 0 und f''(a) ≠ 0 hat. Dann hat die Funktion f bei x = a eine Extremstelle.
Anschaulich kann man das so erklären, dass die Funktion wegen f''(a) ≠ 0 in einer Umgebung von a gekrümmt ist.
Bei f''(a) > 0 ist die Funktion linksgekrümmt. Wenn zusätzlich f'(a) = 0 ist, krümmt sich die Funktion also quasi so nach oben hin weg, dass an der Stelle x = a ein Minimum vorliegt.
Bei f''(a) < 0 ist die Funktion rechtsgekrümmt. Wenn zusätzlich f'(a) = 0 ist, krümmt sich die Funktion also quasi so nach unten hin weg, dass an der Stelle x = a ein Maximum vorliegt.
Bildlich und vereinfacht gesprochen:
Ein lokaler Extrempunkt sieht so aus, dass die Steigung zunächst negativ ist, dann 0 wird und dann wieder positiv wird (Minimum), oder umgekehrt (Maximum).
Die Steigung (1. Abletung) muss also entweder von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv verlaufen.
Damit also das Vorzeichen der Steigung sich ändert, muss die Steigung der Steigung (also die 2. Abletung) ungleich 0 sein.
Weil es sonst auch ein Sattelpunkt sein könnte. Stelle Dir eine Kurve vor, die zunächst ansteigt, dann waagerecht verläuft und dann wieder ansteigt. Im waagrechten Teil, ist die erste Ableitung auch Null, ohne dass es ein Extremwert ist. Es ist aber eben auch die zweite Ableitung dort Null.
Ist sie größer als 0 ist es ein tiefpunkt. Kleiner als 0 ist ein hochpunkt. Und bei 0 ist es ein sattelpunkt. Sonst haste ja keinen extrempunkt.
Richtig ist folgendes: Wenn die 2. Ableitung ungleich null ist, dann liegt ganz sicher ein Extrempunkt vor. Wenn sie ungleich null ist, kann es ein Sattelpunkt sein oder auch nicht. [...]
Das stimmt so nicht ganz. (Mit der Zusatzbedingung, dass die erste Ableitung an der entsprechenden Stelle gleich 0 ist, wird es jedoch richtig.)
Außerdem hast du dich wohl verschrieben und wolltest ...
[...] Wenn sie gleich null ist, kann es ein Sattelpunkt sein oder auch nicht. [...]
... schreiben.
zu 1) Davon, dass die 1. Ableitung bereits null ist, war m. E. gemäß der Fragestellung auszugehen, sonst würden manche Funktionen ja nur aus Extrempunkten bestehen.;-) Aber Du hast recht, es wurde nirgendwo explizit gesagt.
zu 2) ja, ein Schreibfehler, danke für den Hinweis
Diese Antwort ist falsch.
Aus der Tatsache, dass die 2. Ableitung null ist, kann man nicht automatisch schließen, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt.
Einfaches Beispiel: f(x)=x^4 mit f'(x)=4x^3 und f''(x)=12x^2.
An der Stelle x=0 liegt bekanntlich ein Extrempunkt, obwohl die 2. Ableitung dort null ist.
Richtig ist folgendes: Wenn die 2. Ableitung ungleich null ist, dann liegt ganz sicher ein Extrempunkt vor. Wenn sie ungleich null ist, kann es ein Sattelpunkt sein oder auch nicht. Man muss dann das Vorzeichenwechselkriterium anwenden.