Warum ist a hoch 0 gleich 1?

Als andere Begründung:

Nimm eine positive Zahl a, betracht nun den Verlauf der Folge a^x,mit x->0

Diese Folge geht gegen 1.

Die meisten denken beim Potenzieren an den leichtesten Spezialfall:

 "ganze Zahlen größer 0"

Dabei bedeutet Potenzieren mit reellen Zahlen:

a^x = e^(log(a)*x)

bei x=0 bedeutet das innere der Klammer: Produkt mit 0 bleibt 0

(außer Polstellen wie + oder - UNENDLICH)

Über bleibt also e^0 = exp(0)

Exponentialfunktion kann z.B. per Reihenentwicklung beliebig genau berechnet werden:

e^x = 1 + x/1! +x²/2!+... 

 bei x=0 bleibt 1 über -> fertig.

Auch die Grafik lässt niemand zweifeln, dass beliebiges a hoch 0 nur 1 sein kann:

siehe Bild per 

http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm

Hi :)

Stell es dir erstmal so vor:

Du hast a².

Das ist ja a * a.

Nun teilst du durch a:

(a*a)/a

Das ist jetzt einfache Bruchrechnung - du kannst kürzen:

a

Nun Hast du a, das ist das Selbe wie a^1.

Du siehst: Um einen Exponenten tiefer zu gehen, musst du ein Mal durch die Basis teilen. 

Nun wollen wir wieder einen Exponenten tiefer, nämlich von 1 auf Null. Wir müssen also durch a teilen:

a/a = 1

Also muss doch a^0 = 1 sein, da wir ja von a^1 auf a^0 den Exponenten um 1 verringert haben, indem wir durch die Basis teilten.

Nun deken wir uns mal (nur zur Vollständigkeit), wir würden dieses Prinzip fortführen. Wir wollen wieder den Exponenten um eines erniedrigen, also von a^0 auf a^(-1) gehen. Wir müssen nach obigen Prinzip also wieder durch die Basis teilen:

1/a

Also ist a^(-1) = 1/a

Wir machen das mal bis a^(-3) weiter, weil ich dir da gleich eine "Regel" nennen möchte.

Wir haben also 1/^und wollen auf a^(-2) erniedrigen. Also teilen wir durch a:

(1/a) / a

Das ist wieder Bruchrechnung:

a ist das Gleiche wie a/1 (da sich jede rationale Zahl als Bruch darstellen lässt). Um durch einen Bruch zu teilen, nehmen wir mit seinem Kehrwert Mal. Heißt letztendlich: Wird ein Bruchdurch eine ganze Zeil geteilt, so nimmt man den Nenner mit dieser Zahl Mal:

(1/a) / a 

= 1/(a*a) 

= 1/a²

Nun das gleiche nochmal - wir gehen von a^(-2) auf a^(-3):

(1/a²)/a 

= 1/(a²*a)

= 1/a³

Fällt dir was auf? Das "positive gegenstück" zum Exponenten taucht im Nenner wieder auf. Es gilt also:

a^(-m) = 1/(a^m)!

Das nur so nebenbei.

Dieses Prinzip nennt man Permanenzprinzip.

ACHTUNG: Dies gilt für a ungleich Null! Wenn a = 0, dann kommt es auf den Kontext an: Je nach Kontext sagt man eben 0^0 = 1 oder 0^0 ist nicht definiert. Denn wenn a^0 immer 1 wäre, würde dies der Regel widersprechen, dass 0â immer null. Wenn hier nämlich a = 0 ist, haben wir wieder 0^0 und das Problem besteht wieder. 0^0 ist also mal 1 und mal nicht, je nachdem, wie sich das die Mathematiker gerade zurecht biegen (das ist genau eine solche Diskussion wie zum Beispiel die, ob im R+ nun auch die Null mit inbegriffen ist oder nicht. Die Mathematiker nehmen das, was für ihren Beweis gerade am besten passt - an meiner Uni war die Null nicht mit drin ^^).

Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

LG ShD

Die gleiche Frage gab's vor ein paar Tagen schon mal:
https://www.gutefrage.net/frage/ich-komm-in-der-schule-nicht-mehr-draus-bei-mathe-wieso-gibt-zb-7-hoch-0-gleich-1?

Ich kopiere mal meine Antwort von dort:

Das kann man sich aus den Potenzgesetzen herleiten. Wenn man Potenzen gleicher Basis dividiert, gilt die Regel:

a^m / a^n = a^(m-n)

(Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert.)

Wenn wir jetzt den speziellen Fall a^n / a^n betrachten, so gilt

einerseits a^n /a^n = 1, denn eine Zahl (außer 0) durch sich selbst gibt immer 1 andererseits a^n /a^n = a^(n-n) = a^0, nach der Potenzregel

Wenn aber a^n /a^n = a^0 und a^n /a^n = 1, dann muss auch gelten a^0 = 1

Weil hoch 1 gleich ausgangszahl ist:

X^1 = x

und x/x = 1

X^2 = x * x

X^1 = x

x^0 = X / x = 1