Warum fallen Konstanten bei der Bildung der Ableitung weg?
9 Antworten
Eine Ableitung zeigt eine ÄNDERUNG an. Bei einer Konstanten gibt es aber keine Änderung. Also ist sie null - aus und weg.
Anschaulich erklärt: Weil addierte Konstanten keinen Einfluss haben auf die Steigung des Graphen der Funktion. Addierte Konstanten bewirken eine Parallelverschiebung nach oben oder unten, aber sie ändern sonst nichts am Verlauf des Graphen.
Also z.B. die Funktion f(x)=x² hat in allen Punkten die selbe Steigung wie g(x)=x²+c. Deshalb haben f und g die selbe Ableitung.
Das gilt aber nur für Konstanten, die addiert werden; NICHT für Konstanten, die multipliziert werden.
Ein Polynom f(x) = a*x^n + b*x^(n-1) + ... hat die Ableitung
f'(x)=a*n*x^(n-1) + b * (n-1) * x^(n-2) ...
Zu Deutsch: Alten Exponenten nach unten holen, nächsten Exponenten um 1 erniedrigen. Rinse and repeat.
________
Eine Konstante c lässt sich auch schreiben als c*x^0. Ihre Ableitung ist damit:
c * 0 * x^(-1)
= 0
_________
Graphisch kannst du dir das vorstellen, wie es dir bereits erklärt wurde: Ob ich meinen Graphen 0 Einheiten nach oben, Pi Einheiten nach unten oder e²/365 Einheiten nach oben verschieben, ändert an seiner Steigung in einem Punkt (und zwischen beliebigen Punkten) absolut nichts.
Es sind schon viele gute Argumente genannt worden, einen möchte ich noch ergänzen:
Die Ableitung ist als Grenzwert von Differenzenquotienten definiert:
f'(x) = lim_h->0 [f(x+h)-f(x)]/[(x+h)-x]
= lim_h->0 [f(x+h)-f(x)]/h
Wenn wir nun eine um eine Konstante verschobene Funktion g(x) = f(x)+c haben, dann ist ihre Ableitung
g'(x) = lim_h->0 [g(x+h)-g(x)]/h
= lim_h->0 [f(x+h)+c-(f(x)+c)]/h
= lim_h->0 [f(x+h)-f(x)]/h
= f'(x)
Man sieht also, dass die Konstante sich in der Zähler-Differenz heraushebt und somit die Ableitung sich durch sie nicht ändert. Anschaulich entspricht es natürlich, wie in anderen Antworten schon erwähnt, der Tatsache, dass die Steigung einer nach oben/unten verschobenen Funktion an jeder Stelle die gleiche ist wie ohne der Verschiebung.
Die Ableitung gibt die Steigung der Funktion an. Eine Konstante ändert diese nicht, sondern verschiebt nur die Funktion als gesamtes.
Beispiel:
Die Funktionen
y = x
und
y = x + 1
sind gleich "steil", die eine verläuft nur "höher" als die andere.
Das bedeutet: weil die absolute Lage der Funktion nicht in deren Steigung eingeht, spielt diese auch bei der Ableitung keine Rolle!
Natürlich "fallen" sie "weg". Was du beschreibst (dass eine Konstante abgeleitet 0 ergibt), ist nicht die Ursache, sondern die Auswirkung!
Steigung wird berechnet aus Delta_y / Delta_x
Diese "Delta" bedeuten eine Subtraktion. Wenn du die Funktion f(x) = g(x) + c hast, so ist das Delta_y = f(x2) - f(x1) =g(x2) + c - (g(x1) - c) = g(x2)-g(x1) + c - c
Dass eine Konstante beim Bestimmen der Steigung /Ableitung wegfällt, ist also absolut korrekt formuliert!
Die Antwort von gfntom ist sehr gut!
Die Formulierung "fallen weg" ist etwas irreführend: die Ableitung einer Konstante ist 0 → d.h.: sie fällt nicht weg, sondern es wird einfach 0 addiert oder subtrahiert (was man allgemeiner verständlich als "wegfallen" bezeichnen kann)
Beispiel mit Buchstaben:
f(x) = x² + c
f’(x) = 2x + 0 → also f’(x)=2x