Ableitung dieser Funktionn?
Kann mir jemand die Zwischenschritte zur Bildung der Ableitung dieser Funktion nennen? Hab es jetzt mit der Produktregel versucht und es stimmt nicht mit der Lösung überein, kann jemand helfen?
4 Antworten
23 fällt bei der Ableitung weg, da es ein Summand ist und kein t mehr drinne steht. Bleibt noch 20t * e^(-t/10) über. Müsste sich dann um Produktregel und Kettenregel handeln, nehme ich gerade an, mal ausprobieren:
1) Produktregel:
f(t)' = (20t)' * e^(-t/10) + 20t * (e^(-t/10))'
= 20 * e^(-t/10) + 20t * (e^(-t/10))'
Jetzt müssen wir nur noch e^(-t/10) nach der Kettenregel ableiten und können das Ergebis dann da einsetzen. Leiten wir das also ab (dabei beachte, dass die Ableitung von e^x = e^x ist):
(e^(-t/10))' = (-t/10)' * e^(-t/10) = -1/10 * e^(-t/10)
Einsetzen:
f(t)' = 20 * e^(-t/10) + 20t * (e^(-t/10))'
= 20 * e^(-t/10) + 20t * -1/10 * e^(-t/10)
= 20 * e^(-t/10) - 2t * e^(-t/10)
= (20 - 2t) * e^(-t/10)
Fertig.
Ist auch das, was mein Taschenrechner als Ergebnis ausgibt.
Ich verstehe aber nicht warum jetzt die 23 wegfällt, wir haben es vorher immer in die Produktregel miteinbezogen.
Die Produktregel ist voll richtig !
Und die Kettenregel braucht es auch .
( 20 als Faktor bleibt erhalten, 23 fällt weg )
und ich setze , weil es nervt -1/10 = a .
u = t ....................................u' = 1
v = e^( a * t ) ................v' = a * e^( a * t ) (*)
Folglich ist f' ( t ) =
u * v' + v * u'
t * a * e^( a * t ) + e^( a * t ) * 1
e^( a * t ) ausklammern macht
e^( a * t ) * ( t * a + 1 )
20 hineingeben und a wieder rücksubstituieren
( 20 * -1/10 * t + 20 ) * e^( -t/10 ) =
( -2t + 20 ) * e^( -t/10) = f'(t)
wolfram kontrolliert
und sagt : ja !
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(t)+%3D+20+*+t+*++e%5E((-1%2F10)t)
(*) hier steckt die Kettenregel drin , weil die ableitung des Exponenten ( der inneren Funktion ) -1/10 * t eben -1/10 ist.
Erstmal: Beim Ableiten fallen Konstanten (also die 23) weg.
Wenn du dann die 20*t*e^(-(1/10)*t) ableitest, muss der Exponent nach vorne (vor 20*t*e) geschrieben und im Exponenten verringert werden. Also:
-(1/10)*t*t*e^(-(1/10)*t-1)
Jetzt noch zusammenfassen und du hast deine Gleichung:
f'(x) = -(1/10)*t²*e^(-(1/10)t-1)
Hoffe du kennst es, aber das ^ steht dafür, dass das Nachfolgende der Exponent ist ^^
Die Lösung ist falsch. Man verringert den Exponenten und schreibt es vor die VARIABLE, wenn es sich dabei um die Variable handelt, nach der man ableitet. Hier ist es aber e, eine Konstante. Wir leiten aber nach t ab.
Du brauchst die Produkt- und Summenregel.
Ist auch das, was mein Taschenrechner als Ergebnis ausgibt.
Es gibt tatsächlich Leute, die den GTR sinnvoll nutzen!