Ich kenn nicht eure verwendete Notation und allgemein ist gutefrage nicht die beste seite für mathematische Symbole (oder ich kenn mich nicht gut genug aus, um welche einzubetten). Aber ich versuch mein bestes:
Hier ist f unsere Abbildung die wir in JNF bringen wollen und A ist die darstellende Matrix von f. Nun soll t ein Eigenwert von f sein. Für jeden Eigenwert wollen wir die Basis eines Hauptraums bestimmen. Was ist also ein Hauptraum?
H(t) := Vereinigung über alle i aus IN von: Kern((f-t*id)^i)
Das ist die Definition. Das ist also der Hauptraum. Was machen wir, wenn wir das ausrechen wollen? Wir berechnen einfach Kern(f-t*id)^i. Dazu schreiben wir zunächst das ganze als Matrizen, statt als lineare Abbildungen. Wir schreiben also statt f-t*id folgende Matrizen: A - t*En (hierbei soll En die Einheitsmatrix sein, da die Darstellungsmatrix der Identität die Einheitsmatrix ist). Schreiben wir nun B:= A-t*En.
Da wir den Kern ausrechnen wollen ist dies bei Matrizen das gleiche, als würden wir einfach ein homogenes lineares Gleichungssystem ausrechnen: L(B, 0). Aber wir sollen den Kern für die i-fache hintereinanderausführung ausrechnen. In Matrizen bedeutet das einfach, dass wir B^i ausrechnen. Dann suchen wir nun L(B^i, 0).
Gut, wir haben jetzt die Formel oben fast in Matrizen ausgedrückt und können das nun leicht ausrechnen, denn wenn wir L(B^i, 0) für alle i ausrechnen, dann wird uns auffallen, dass sich irgendwann die Lösungsmenge nicht mehr ändern wird. Wir müssen also nur so viele i's durchgehen, bis sich L(B^i, 0) nicht mehr ändert. Die Vereinigung dieser L(B^i, 0) ist dann unser Hauptraum von dem einen Eigenwert.
Warum berechnen wir diese nun? Nun, wäre f diagonalisierbar, so müssten wir nur L(B^1, 0) ausrechnen, das wäre der Eigenraum von dem Eigenwert von t. Für L(B^2, 0) etc. würde sich die Lösungsmenge nicht unterscheiden. In dem Fall wäre also unser Hauptraum der Eigenraum. Es sind aber nicht alle f diagonalisierbar. Das heißt, wenn wir L(B^1, 0) ausrechnen, bekommen wir zu wenig Eigenvektoren für eine komplette Basis unseres Vektorraums. Wir brauchen also mehr Vektoren. Und dafür berechnen wir halt den gesamten Hauptraum, indem wir auch L(B^2, 0) etc. berechenen, bis sich der Hauptraum nicht mehr ändert. Denn wenn wir nun für jeden Hauptraum aller Eigenwerte von f eine Basis finden, können wir diese zu einer Basis unseres Vektorraums vereinigen, denn wir haben nun genug Vektoren.
Noch hat das ganze aber nicht die Jordan-Normalform. Daher suchen wir innerhalb unseres Hauptraums eine ganz bestimmte Art von Basis. Nennen wir die Basis C.
C := { u1, B*u1, B^2*u1, ..., B^a(1)*u1, u2, B*u2, ... , B^a(2)u2, ... , uk, B*uk, ... , B^a(k)*uk}
Wenn f diagonalisierbar wäre, dann wäre unsere Basis insbesondere:
C = { u1, u2, ..., uk }
Was man sich jetzt bei der JNF überlegen kann ist, dass immer u1, ... , B^a(1)*u1 und so weiter einen Jordan-Block zu dem Eigenwert bilden. Daran sehen wir dann auch die Länge des jeweiligen Jordan-Blocks. Also ist k insbesondere die Anzahl der Jordan-Blöcke.
Jetzt berechnest du diese Basen für jeden Eigenwert und fügst sie zusammen, dann hast du eine Basis, die dir die Jordan-Normalform von f liefert. Ist also viel rechnen, bei dem man auch immer irgendwo einen kleinen dummen Fehler machen kann. Achso, ich habe jetzt hier nicht angegeben, wie man die Basis C allgemein ausrechnet, aber vielleicht steht das ja bei euch im Skript und das hier hat erstmal weitergeholfen und ist auch schon schwer zum Verdauen.
Ich empfehle auch hier diesen Artikel: "Kochen mit Jordan" (der Artikel erklärt das aber evtl. ein wenig anders als ich, da ich mich eher an meinem Skript gehalten habe).
https://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf
Ich bin mir nicht 100% sicher, ob das alles was ich hier geschrieben habe richtig ist, aber ich meine, so müsste es sein. Ich lerne auch gerade für die Klausur, also hat mir das jetzt auch ein bisschen geholfen noch mal den Stoff durchzugehen, danke^^
