Warum benötigen Wasserstoffbrücken ein freies nicht bindendes Elektronenpaar an N, O oder F?

Benötigen sie nicht. Sie benötigen ein stark positiv polarisiertes H-Atom (wie es nur durch Bindung an N, O oder F geschehen kann) und ein beliebiges, nichtbindendes Elektronenpaar (egal an welchem Atom) als Bindungspartner am anderen Molekül.

1. Das geht auch bei Cl 

2. Um Wasserstoffbrücken auszubilden benötig man in einem Molekül ein Wasserstoffatom und ein weiteres Atom das möglichst negativ geladen ist d.h. es muss das Elektron möglichst stark anziehen wozu es eine möglichst große Elekronegativität braucht . Und die Atome mit der höchsten EN sind eben F,O,N und Cl 

Wie Botanicus bereits sagte, ist ein freies Elektronenpaar nicht zwingend erforderlich.