Wann ist ein Logarithmus irrational?
Ich suche gerade verzweifelt einen einleuchtenden Beweis wann Logarithmen irrational sind. Also keinen bestimmten sondern einen allgemeinen wie der von den Wurzeln: Falls a & b Natürliche Zahlen sind und die a-te Wurzel aus b nicht natürlich ist, so ist sie irrational. Kennt jemand soeinen Satz(am besten mit Beweis) für Logarithmen?
2 Antworten
Meinst du die Frage "Wann ist eine Wurzel irrational"?
Der Logarithmus wäre hier die Ordnung der Wurzel (a in a-te Wurzel aus b) - bzw. genauer der Kehrwert hiervon.
Am besten indirekt und mit gekürzten Brüchen:
Wenn b^(1/a) rational ist, dann lässt es sich in der Form p/q darstellen (p, q natürliche Zahlen, teilerfremd).
Dann ist b = (p/q)^a = p^a / q^a .
Da a eine natürliche Zahl ist, werden alle Exponenten in den Primzahlzerlegungen von p und q mit a multipliziert. Insbesondere kommen keine weiteren Primzahlen hinzu (wo 0 steht, bleibt eine 0).
Also sind p^a und q^a wiederum teilerfremd.
Da p^a / q^a = b eine ganze Zahl ist, muss notwendigerweise q = 1 sein.
Wenn die Zahl sich nicht als e hoch eine rationale Zahl schreiben lässt.