Frage von TSoOrichalcos, 67

Wann ist ein Logarithmus irrational?

Ich suche gerade verzweifelt einen einleuchtenden Beweis wann Logarithmen irrational sind. Also keinen bestimmten sondern einen allgemeinen wie der von den Wurzeln: Falls a & b Natürliche Zahlen sind und die a-te Wurzel aus b nicht natürlich ist, so ist sie irrational. Kennt jemand soeinen Satz(am besten mit Beweis) für Logarithmen?

Antwort
von iokii, 56

Wenn die Zahl sich nicht als e hoch eine rationale Zahl schreiben lässt.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 45

Meinst du die Frage "Wann ist eine Wurzel irrational"?

Der Logarithmus wäre hier die Ordnung der Wurzel (a in a-te Wurzel aus b) - bzw. genauer der Kehrwert hiervon.

Am besten indirekt und mit gekürzten Brüchen:

Wenn b^(1/a) rational ist, dann lässt es sich in der Form p/q darstellen (p, q natürliche Zahlen, teilerfremd).

Dann ist b = (p/q)^a = p^a / q^a .

Da a eine natürliche Zahl ist, werden alle Exponenten in den Primzahlzerlegungen von p und q mit a multipliziert. Insbesondere kommen keine weiteren Primzahlen hinzu (wo 0 steht, bleibt eine 0).

Also sind p^a und q^a wiederum teilerfremd.

Da p^a / q^a = b eine ganze Zahl ist, muss notwendigerweise q = 1 sein.

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