Frage von joalter2011, 146

Wahrscheinlichkeit „höchstens zweimal"?

Hallo,
ich schreibe morgen eine wichtige Klausur und habe daher eine Frage zu einer Aufgabe. Die Aufgabe lautet wie folgt: Beim Torwandschießen trifft Peter mit einer Wahrscheinlichkeit von 20%.
Er hat sechs versuche.
Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er höchstens zweimal/dreimal?

Bedeutet bei zweimal: entweder keinmal, einmal, oder zweimal. Allerdings erscheint es mir nicht schlüssig, wie ich rechnen muss. Für keinmal kommt 26,2% raus, für einmal 39,3% und für zweimal eine Zahl, die in Addition mit den anderen die 100% überschreiten würde.

Kann mir jemand behilflich sein?
Vielen Dank im Voraus

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 68

Hallo,

mach's mit Bernoulli: (6 über n)*0,2^n*0,8^(6-n), stelle das Ganze unter ein Summenzeichen (gute Taschenrechner haben diese Funktion) und bilde die Summe von n=0 bis n=2, bzw. n=3.

So kommst Du auf 90,11 % (höchstens 2 Treffer) bzw. 98,3 % (höchstens 3 Treffer).

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von joalter2011 ,

Wie kommst du auf 98,3%? Ich komme auf 90,15%.

Kommentar von Willy1729 ,

Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für 0,1,2 und 3 Treffer:

0,262144+0,393216+0,24576+0,08192=0,98304

Kommentar von Willy1729 ,

Rechne mal alle Einzelergebnisse für 0 bis 6 Treffer zusammen. Am Ende muß 1 herauskommen.

Kommentar von joalter2011 ,

Besten Dank Willy!! :-)

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathematik, 47

Wenn ich mir die zahlreichen falschen Antworten hier angucke, denke ich, dass ich hier eingreifen und auch etwas schreiben muss:

Wenn Peter mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 trifft, dann trifft er mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 nicht.

Er hat 6 Versuche und darf 2 oder weniger Treffer landen:

P("höchstens 2") = P("2x") + P("1x") + P("0x")
= 0,2² * 0,8⁴ + 0,2 * 0,8⁵ + 0,8⁶
= 0,344064 = 34,4064%

Die Wahrscheinlichkeit, dass Peter höchstens zweimal trifft, beträgt 34,4064%.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von joalter2011 ,

Genau so hab ich's auch!
Nun ergibt sich allerdings das Problem, dass Peter seinen Treffer bei allen 6 Versuchen landen kann, bei zwei Treffern bei 6 bzw. 5 Versuchen.

Das würde in der Rechnung ein *6 (bei einem Treffer) sowie *5*6 (bei zwei Treffern bezwecken), was wiederum zu einer Prozentzahl über 100 führt.

Kommentar von Willibergi ,

"Nun ergibt sich allerdings das Problem, dass Peter seinen Treffer bei allen 6 Versuchen landen kann, bei zwei Treffern bei 6 bzw. 5 Versuchen."

Ich verstehe dich nicht wirklich, aber die Wahrscheinlichkeit für 6 Treffer beträgt:

0,8⁶ = 0,262144 = 26,2144%

"Das würde in der Rechnung ein *6 (bei einem Treffer) sowie *5*6 (bei zwei Treffern bezwecken), was wiederum zu einer Prozentzahl über 100 führt."

Bitte was?

LG Willibergi

Kommentar von Willy1729 ,

Du vergißt dabei, daß Du auch noch den Binomialkoeffizienten brauchst. Die Treffer müssen ja nicht bei einem bestimmten Versuch fallen.

Zwei Treffer z.B. können bei Versuch 1 und 2 oder bei Versuch 3 und 4 oder 2 und 6 usw. fallen (insgesamt 15 Möglichkeiten)

Bei zwei Treffern mußt Du also rechnen: 15*0,2^2*0,8^4.

Bei einem Treffer gibt es 6 Möglichkeiten, bei welchem Versuch er fällt.

Du rechnest also: 6*0,2*0,8^5

Bei keinem Treffer reicht es, 0,8^6 zu rechnen, weil 0,2^0=1 ist und weil es nur eine Kombination gibt, daß kein Treffer fällt: Sechs Fahrkarten.

In der Summe ergibt dies 90,11 %.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von joalter2011 ,

Schwierig, dies zu erklären.
Schau: mein Tutor behauptete, wenn man die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ausrechnet, sehe es folgendermaßen aus:
P(1)= (0,8)^5 * 0,2 * 6,
da der eine Treffer bei allen 6 versuchen gelandet werden kann.

Kommentar von joalter2011 ,

Danke an beide Willis! Ihr habt mir meine Frage beantwortet!
Besonders die *15* Möglichkeiten haben mir weitergeholfen :-)

Kommentar von Willibergi ,

Gern geschehen! ;)

LG Willibergi

Antwort
von KK1882, 51

Da hast du dich wohl verrechnet, die Zahl für keinmal stimmt, der Rest leider nicht. Die Wahrscheinlichkeit dass er trifft ist 20%= 1/5. Die dass er nicht trifft damit 80%=4/5. Also ist die Wahrscheinlichkeit dass er keinmal trifft (4/5)^6. Bei einem Treffer (1/5)*(4/5)^5 und bei zwei Treffern (1/5)^2*(4/5)^4. Wenn du das aufsummierst sollten sinnvolle Werte herauskommen.

Kommentar von lks72 ,

Die Wahrscheinlichkeiten für ein und zwei Treffer sind nicht richtig, hier fehlt der Vertauschungsbruch, denn die Reihenfolge spielt ja keine Rolle.

Kommentar von KK1882 ,

Die Multiplikation ist kommutativ deswegen spielt hier die Reihenfolge ja keine Rolle. Er hat ja nur 10 Versuche das heißt dass die maximal zwei Treffer nicht an zwei unterschiedlichen Stellen sind sondern an einer Stelle die dann eben (1/5)^2*(4/5)^4 ist

Antwort
von Shalidor, 46

Zu einer Wahrscheinlichkeit von 20% trifft er. Er hat aber sechs Versuche. 20%*6=120€. Zu 120% trifft er mindestens ein Mal. Er muss aber zwei Mal treffen. Sprich die Wahrscheinlichkeit dass er es schafft ist halb so groß. Die Antwort lautet also 60%.

Kommentar von Willy1729 ,

Eine Wahrscheinlichkeit von 120 % gibt es nicht. Wahrscheinlichkeiten kommen nur zwischen 0 (unmöglich) und 100 % (passiert auf jeden Fall) vor.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Shalidor ,

Natürlich gibt es 120%. Wie rechnet der Herr Willy es denn dann? Währe der Herr Superschlau bitte so freundlich mir nicht nur zu sagen das ich falsch liege sondern mich auch zu verbessern? Blödsinn reden ohne ihn zu begründen kann ich nämlich auch.

Kommentar von Willy1729 ,

Wie ich das berechne, steht in meiner Antwort.

Wenn der Fragesteller auf Dich hört, setzt er die Klausur in den Sand.

Stochastik will gelernt sein. Wenn Du mir nicht glaubst, recherchiere im Internet, etwa hier:

http://matheguru.com/stochastik/164-bernoulli-kette.html

Antwort
von lks72, 26

Hast du zweimal denn richtig berechnet? p(rrffff) ist nämlich

0,2 * 0,2 * 0,8 * 0,8 * 0,8 * 0,8 * 6! / 2! / 4!

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