Wahrscheinlichkeit 4 mal würfeln?
Ich habe eben meine Stochastik Prüfung gehabt und die erste Aufgabe war:
Wir werfen einen Würfel 4mal. Wir addieren alle Würfe wobei wir einmal die größte und die kleinste geworfene Zahl abziehen von der Summe. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit eine Augensumme größer als 10 zu erhalten.
Ich habe so ein bisschen vor mich hingerechnet und mir paar Dinge überlegt. Aber das war eher so ein bisschen "ich mach jetzt was und hoffe es ist richtig". Mein Ergebniss war 12/60 = 1/5.
Vllt kann mir ja jemand mal erklären wie man hier zu einer schönen Lösung kommt. Vielen Dank schonmal im voraus
6 Antworten
Eine Summe größer als 10 erhältst Du nur, wenn die übrig gebliebenen Augenzahlen 5+6 oder 6+6 sind, d. h. es müssen entweder 6+6+5+"<6" fallen oder 6+6+6+"egal".
Insgesamt gibt es 6*6*6*6/4! mögliche Würfelausgänge (Reihenfolge egal).
Jetzt nur kurz abzählen wieviele Ausgänge passen...
KORREKTUR:
Bei "meiner" Gesamtzahl an Möglichkeiten war ich etwas voreilig; ich habe nicht die Wiederholungen bedacht. Es sind mit Wiederholung ohne Beachtung der Reihenfolge (9 über 4) Möglichkeiten (n+k-1 über k), also 126. Somit käme ich auf 11/126.
Keine Gewähr, dass ich nicht noch etwas anderes nicht bedacht habe, aber 1/5 kommt mir doch recht hoch vor...
Es müssen 2 sechser, 2 fünfer oder je ein sechser und fünfer oder vierer übrigbleiben.
Ereignis 1, Wahrscheinlichkeit für 3 sechser, 4. Würfel egal
Ereignis 2, Wahrscheinlichkeit für 3 fünfer 4. Würfel egal, oder 2 fünfer, 1 sechser, 1 vierer oder kleiner
Ereignis 3 , Wahrscheinlichkeit 2 sechser und 1 fünfer oder vierer, 4. Würfel nicht größer als 5 bzw. 4.
Du brauchst eigentlich nur die Wahrscheinlichkeiten für 2 sechser und 1 Würfel größer gleich 4; 3 fünfer; und 2 fünfer ein sechser, dann bleiben immer mindestens 10 punkte liegen wenn größter und kleinster Wurf weggenommen werden. Diese Wahrscheinlichkeiten berechnest du für 3 Würfe, und nimmst sie dann mal 4, weil es egal ist in welchem Wurf der "4. Wurf", der dann das Ergebnis nicht mehr beinflusst, stattfindet. Dann die Wahrscheinlichkeiten addieren.
stimmt, ich habe da ein größer gleich gelesen. logisch für mindestens 11 braucht man mindestens 2 sechser und einen fünfer.
Bei zwei Sechser brauchst Du noch mindestens eine dritte Sechs, da sonst ja eine der beiden Sechser die größte Zahl wäre und damit aus der Rechnung herausfallen würde.
Die andere Zahl ist dann egal, denn selbst eine 6 wäre bei vier Sechsern nicht nur die größte, sondern auch die kleinste Zahl.
Bei 2 x 6 einmal 5 und x bleibt doch für x nicht größer als 5 auch eine 6 und eine 5 = 11 liegen
Meinte ja, man braucht die Wahrscheinlichkeiten für 4 x 6, 3 x 6 und 2 x 6 mit 1x5, dann ist das Ergebnis immer 12 oder 11.
Wahrscheinlichkeit für 4 Sechser ist klar, bei 3 Sechser gibt es 4 Möglichkeiten für den wurf keine 6 und bei 2 x6 +1x5 gibt es 3x4 Möglichkeiten für den wurf 5 und keine 6
Also müsste das 1/6^4 + 1/6^3×5/6×4+1/36×1/6×5/6×12 sein
Hallo,
wie bereits in anderen Antworten geschrieben, müssen nach Abzug zweier Zahlen entweder eine 5 und eine 6 oder zwei 6er übrigbleiben.
Sind es zwei 6er, muß die dritte Zahl auch eine 6 sein, sonst wäre ja eine der beiden Sechsen die größte Zahl und würde abgezogen.
Die vierte Zahl ist dann egal, sie wird sowieso abgezogen.
Da Du hier auch die Reihenfolge berücksichtigen mußt, gibt es für diesen Fall nur 21 Möglichkeiten. Sind es drei Sechser und eine vierte Zahl, die keine Sechs ist, kann die vierte Zahl an vier möglichen Stellen stehen und 5*4=20.
Für vier Sechsen dagegen gibt es nur eine einzige Reihenfolge und 20+1=21.
Bleiben eine 5 und eine 6 übrig, muß auf jeden Fall noch eine zweite 6 dabei sein, während die vierte Zahl eine Zahl zwischen 1 und 5 sein kann, damit eine 5 auf jeden Fall übrigbleibt. Ist diese Zahl auch eine 5, hast Du zwei Fünfer und zwei Sechser und damit 4!/(2!*2!)=6 Möglichkeiten.
Ist die vierte Zahl eine 1 bis 4, gibt es dafür noch 4!/2!=12 Möglichkeiten.
Ich habe eben vergessen, diese 12 mit 4 zu multiplizieren, da die vierte Zahl ja eine von vier sein kann, also 48.
48+6=54+21=75.
Das sind alle Kombinationen, bei denen eine Augenzahl von mehr als 10 übrigbleibt.
Da es insgesamt 6^4=1296 gibt, liegt die Wahrscheinlichkeit bei lediglich
75/1296, also etwa 5,8 %.
Herzliche Grüße,
Willy
Exakt selbe Rechnung bei mir und wurde so eben von meinem Computer bestätigt. Wen es interessiert, hier die 75 Möglichkeiten:
1 | 5 | 6 | 6
1 | 6 | 5 | 6
1 | 6 | 6 | 5
1 | 6 | 6 | 6
2 | 5 | 6 | 6
2 | 6 | 5 | 6
2 | 6 | 6 | 5
2 | 6 | 6 | 6
3 | 5 | 6 | 6
3 | 6 | 5 | 6
3 | 6 | 6 | 5
3 | 6 | 6 | 6
4 | 5 | 6 | 6
4 | 6 | 5 | 6
4 | 6 | 6 | 5
4 | 6 | 6 | 6
5 | 1 | 6 | 6
5 | 2 | 6 | 6
5 | 3 | 6 | 6
5 | 4 | 6 | 6
5 | 5 | 6 | 6
5 | 6 | 1 | 6
5 | 6 | 2 | 6
5 | 6 | 3 | 6
5 | 6 | 4 | 6
5 | 6 | 5 | 6
5 | 6 | 6 | 1
5 | 6 | 6 | 2
5 | 6 | 6 | 3
5 | 6 | 6 | 4
5 | 6 | 6 | 5
5 | 6 | 6 | 6
6 | 1 | 5 | 6
6 | 1 | 6 | 5
6 | 1 | 6 | 6
6 | 2 | 5 | 6
6 | 2 | 6 | 5
6 | 2 | 6 | 6
6 | 3 | 5 | 6
6 | 3 | 6 | 5
6 | 3 | 6 | 6
6 | 4 | 5 | 6
6 | 4 | 6 | 5
6 | 4 | 6 | 6
6 | 5 | 1 | 6
6 | 5 | 2 | 6
6 | 5 | 3 | 6
6 | 5 | 4 | 6
6 | 5 | 5 | 6
6 | 5 | 6 | 1
6 | 5 | 6 | 2
6 | 5 | 6 | 3
6 | 5 | 6 | 4
6 | 5 | 6 | 5
6 | 5 | 6 | 6
6 | 6 | 1 | 5
6 | 6 | 1 | 6
6 | 6 | 2 | 5
6 | 6 | 2 | 6
6 | 6 | 3 | 5
6 | 6 | 3 | 6
6 | 6 | 4 | 5
6 | 6 | 4 | 6
6 | 6 | 5 | 1
6 | 6 | 5 | 2
6 | 6 | 5 | 3
6 | 6 | 5 | 4
6 | 6 | 5 | 5
6 | 6 | 5 | 6
6 | 6 | 6 | 1
6 | 6 | 6 | 2
6 | 6 | 6 | 3
6 | 6 | 6 | 4
6 | 6 | 6 | 5
6 | 6 | 6 | 6
Vielen Dank an Dich und Deinen Rechner für die Mühe. Dann habe ich mich also nicht verrechnet.
Ich bin mir jedes mal, wenn ich eine Deiner Antworten lese, sicher, dass das richtig ist, selbst wenn ich es nicht immer nachvollziehen kann.
Zur Schreibweise habe ich hier aber was zu meckern:
48+6=54+21=75
Ich finde, das sollte man nicht so schreiben.
Aus meiner Antwort ging doch hervor, wie es gemeint ist. Ich wollte mich damit nicht um die Fields-Medaille bewerben.
Wenn's der Wahrheitsfindung dient:
48+6+21=75.
Also in Klassenarbeiten und Klausuren streiche ich soetwas schon an.
Da würde ich das auch nicht so schreiben. Allerdings mit Abitur, zwei Examina und der Pension in der Tasche sieht man das nicht mehr so eng.
Quod licet Iovi, non licet bovi.
Komme auch auf 1/5
Rechenweg:
-Eigentlich sind nur 2 Würfe relevant
-2 x das niedrigste (1) = 2
-2 x das höchste (6) = 12
-Anzahl der Zahlen über 10 = 12-10 = 2
-Anzahl der möglichen Ergebnisse = 12-2 = 10
-2 / 10 = 1/5
Anzahl der möglichen Ergebnisse = 12-2 = 10
Mit 2 Würfeln kann man die Zahlen 2-12 erhalten, das sind 11 verschiedene, nicht 10.
Zudem sind die Summen nicht gleich wahrscheinlich.
Stimmt, da habe ich Fehler gemacht. Anscheinend doch komplizierter als ich zuerst dachte.
Tipp: eine Summe > 10 erhält man, wenn die beiden "mittleren" Zahlen eine 5 oder eine 6 und eine 6 sind.
Dazu muss dann noch die höchste Zahl eine 6 sein und diie niedrigste Zahl muss zwischen 1 und 5 liegen.
Der Größe nach sortiert müssen die Würfel also zeigen:
W1: 1-5
W2: 5 oder 6
W3: 6
W6: 6
Zudem gibt es noch die Möglichkeit 6666.
Du suchst also: Wahrscheinlichkeit mindestens 3 Sechsen +
Wahrscheinlichkeit genau 2 Sechsen und mindestens1 Fünf
hilft das?
So hab ich es auch gemacht und mit der Formel (nk-1) über k. Kam leider auf 11/60. Sollten aber wahrscheinlich eher 12/60 sein also 1/5. Aber egal so lange der Ansatz richtig ist
Also wenn ich das richtig sehe braucht man die Wahrscheinlichkeiten für 2 sechser und 2 vierer und 3 Würfe > 4
Hier die Rechnung:
4 Sechsen zu würfeln: 1 Möglichkeit
3 Sechsen und eine andere Zahl:
5 Möglichkeiten mit 4 Permutationen: 20 Möglichkeiten
2 Sechsen und 2 Fünfen:
1 Möglichkeit mit 4!/(2!*2!) = 6 Permutationen: 6 Möglichkeiten
2 Sechsen, 1 Fünf und eine Zahl kleiner 5:
4 Moglichkeiten mit 4!/2! = 12 Permutationen: 4 * 12 = 48 Möglichkeiten
Das war es.
Das sind 75 Möglichkeiten von 6^4
mit deinen 1/5 bist du weit daneben!
Frage mich ob das gegenereignis keine 6 und 2 Sechser aber 2 mal <5 einfacher ist. Für die 2. Gegenmöglichkeit müsste es 12 Varianten geben weil für die erste 6 4 Plätze frei sind, für die zweite noch 3.
Zwei Fünfer ist falsch, denn das ergäbe nur eine 10. Es geht aber um Augenzahlen, die größer als 10 sind.