Wahrscheinlichekeitsrechnung Binomialverteilung?
"Eine Gruppe von zehn Personen überquert eine Grenze zwischen zwei Staaten. Zwei Personen führen Schmuggelware mit sich. Beim Grenzübertritt werden drei Personen vom Zoll zufällig ausgewählt und kontrolliert. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den drei kontrollierten Personen die beiden Schmuggler der Gruppe sind!" Ich habe diese Aufgabe mit Binomialverteilung gelöst (10 über 2 mit p=0,2). In den Löungen steht jedoch, dass diese Aufgabe folgendermaßen zu lösen ist: (2/10)* (1/9)*3=(1/15) Nun verstehe ich nicht, wieso man das so rechnen muss und nicht mit Binomialverteilung rechnen kann, da doch alle Bedingungen für die Binomialverteilung erfüllt sind. Wann soll ich diesen Rechenweg verwenden und wie kommt man auf die (2/10) bzw (1/9)? Vielen Dank für eure Antworten! Liebe Grüße N.
3 Antworten
Nein, es ist keine Binomialverteilung, da sich - wie Wechselfreund schon schrieb - die Wahrscheinlichkeiten ändern, wenn du beispielsweise schon einen Schmuggler gefunden hast. Das liegt an dieser Zusatzinformation, wie du in den nachfolgenden Beispielen sehen wirst.
Beispiel 1: Du ziehst den ersten raus und er ist ein Schmuggler. Dann ziehst du den nächsten raus. Dieser ist dann nur noch mit P = 1/9 (einer der verbleibenden 9 Fahrer ist auch Schmuggler) Schmuggler.
Beispiel 2: Du ziehst den ersten raus und er ist kein Schmuggler. Dann ist Testperson 2 mit P = 2/9 Schmuggler, denn 2 der verbleibenden 9 Fahrer müssen ja Schmuggler sein.
Also eine andere Wahrscheinlichkeit bei deiner Testperson in verschiedenen Fällen. Das darf niemals der Fall sein bei einer Binomialverteilung! Wüsstest du diesen Zusatz mit den 2 Schmugglern von 10 Leuten nicht, sondern wirklich nur, dass üblicherweise 20 % aller Leute Schmuggler sind, dann stimmt deine Verteilungsannahme.
(10 über 2) ist Menge aller Mengen mit 2 Elementen, die du aus der Gesamtmenge von 10 Elementen auswählen kannst - oder anders formuliert: wieviele verschiedene Paare kannst du aus 10 Leuten auswählen (egal, ob sie Schmuggler sind oder nicht!)
Du hast 10 Leute, von denen 2 Schmuggler sind → aus dieser Gruppe sollst du eine 3er Gruppe auswählen → das ist eine "hypergeometrische Verteilung!
Falls du das nicht kennst, kannst du so überlegen (aus der ersten ergibt sich die Formel für diese Verteilung.):
- Wahrscheinlichkeit ist prinzipiell "günstige ÷ mögliche" (Lagrange)* Die Anzahl der 3er-Gruppen mit 2 Schmugglern ist (3 ü 2) ... das ü heißt "über")* Die Anzahl der nicht ausgewählten Gruppe ist (7 ü 0)* Die Anzahl aller 2er-Pärchen aus 10 Leuten ist (10 ü 2)* Daraus ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit (3 ü 2)·(7 ü 0)/(10 ü 2) = ¹/₁₅
- 3 Personen ausgewählt: SSN (S..Schmuggler, N..Nicht-Schmuggler)Wahrscheinlichkeit (Nr.1 ist Schmuggler) = ²/₁₀Wahrscheinlichkeit (Nr.2 ist Schmuggler) = ¹/₉Wahrscheinlichkeit (Nr.3 ist NichtSchmuggler) = 1Da die Reihenfolge egal, gibt es 3 Mögichkeiten, SSN zu ordnen →²/₁₀·¹/₉·3 = ¹/₁₅
Eine Binomialverteilung wäre es bei folgender Aufgabenstellung:
Man weiß, dass 2 von 10 Leuten Schmuggler sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass in einer zufällig ausgewählten Gruppe von 10 Leuten genau 2 Schmuggler sind?
Für Binomialverteilung darf sich die W.keit nicht ändern. Dies ist aber ein Versuch ohne Zurücklegen.
Lösen mit Baumdiagramm: Erster Schmuggler (2/10) mal zweiter Schmuggler (1/9) mal dritter Ehrlich (8/8). Davon gibt es drei Pfade.
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Bedeutet das also, dass ich alles was ohne zurücklegen ist, so rechnen kann? Und was bedeuten die 1/9 bzw 2/10 und wieso soll ich das mit 3 multiplizieren?