Wahrscheinlichkeitsrechnung, Textaufgabe?
Aus einer Gruppe von 20 Personen werden beim Grenzübertritt vier vom Zoll kontrolliert.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den kontrollierten Personen a) die beiden Schmuggler sind? b) einer der beiden Schmuggler kontrolliert wird? c) keiner der beiden Schmuggler kontrolliert wird? Freue mich über Hilfe, da ich da irgend wie auf dem Schlauch stehe! Danke!!!
1 Antwort
Hallo,
das löst man über die hypergeometrische Verteilung mit Hilfe von Binomialkoeffizienten. (n über k)=n!/[k*(n-k)!]
Der Binomialkoeffizient sagt Dir, wieviele Möglichkeiten es für k Elemente gibt, auf eine Gruppe von n Elementen verteilt zu sein.
Wenn Du z.B. 7 Karten hast, von denen 3 Asse sind, gibt es (7 über 3)=
7!/(3!*(7-3)!) Möglichkeiten, unter den sieben Karten verteilt zu sein, also entweder die erste, dritte und vierte oder die zweite fünfte und siebente Stelle einzunehmen usw.
7!/3! ist gleich 4*5*6*7, denn 1*2*3 kürzt sich weg, und 4*5*6*7 geteilt durch (7-3=4!), also durch 1*2*3*4 ist gleich 5*7=35, denn die 4 und die 6 kürzen sich ebenfalls weg.
Das nur zum Verständnis. Damit hast Du ein mächtiges Werkzeug, um Aufgaben solcher Art zu lösen.
Es gibt 20 Personen, darunter 2 Schmuggler.
Du hast also eine Gruppe von 18 Unschuldigen plus zwei Spitzbuben.
Der Zoll greift sich aus der Gesamtgruppe vier zufällig ausgesuchte Personen heraus.
Wenn sich unter diesen Vieren die Schmuggler befinden sollen, hast Du darunter zwei Gute und zwei Böse. Die Guten stammen aus der 18er Gruppe, die Bösen aus der Zweiergruppe.
Nun rechnest Du [(2 über 2)*(18 über 2)]/(20 über 4)
2 über 2 macht 1, denn es gibt nur eine Möglichkeit, wie sich 2 Personen auf eine Gruppe von zwei Personen verteilen können.
Die anderen beiden kommen aus der Gruppe der Unschuldigen. Du hast 18 über 2 Möglichkeiten, zwei Personen aus 18 herauszugreifen.
Da die vier Personen aber wahllos aus dem Gesamthaufen herausgegriffen werden, mußt Du dies alles durch die Möglichkeiten teilen, wie vier Personen aus 20 gewählt werden können - schließlich gibt es keine Garantie, daß ausgerechnet die beiden Schmuggler erwischt werden.
2 über 2=1; 18 über 2=153 (Taschenrechner: 18nCr2 - Du hast doch eine nCr-Taste, sonst 18!/(2!*16!)=17*9, weil sich der Rest wegkürzt, was das Angenehme beim Rechnen mit Fakultäten ist; von all den vielen großen Zahlen bleiben oft nur ein paar übrig, die man notfalls im Kopf rechnen kann.
20 über 4=20!/(4!*16!)=(17*18*19*20*)/(1*2*3*4)=17*3*19*5=4845
Also 153/4845=0,0316 oder 3,16 % Wahrscheinlichkeit dafür, daß beide Schmuggler geschnappt werden. Das riecht nach einem 1:0 für die Bösen, denn mit 96,84 % Wahrscheinlichkeit kommt mindestens einer von ihnen davon.
Nach diesem Schema kannst Du solche Aufgaben knacken.
Beispiel Kartenspiel: 32 Karten, vier Buben. Sechs Karten werden gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 3 Buben dabei?
Rechnung:
[(28 über 3)*(4 über 3)]/(32 über 6)=0,0145
Drei der sechs Karten kommen aus dem Haufen der Nicht-Buben, die drei anderen aus dem Haufen der vier Buben; insgesamt werden 6 aus 32 Karten gezogen, durch diese Zahl muß geteilt werden. Mit nCr-Taste geht das ganz fix.
Herzliche Grüße,
Willy