Vorzeichenbereiche für f (Vorzeichen bestimmen)?
Ich soll soweit ich verstanden hab die Vorzeichen des Funktionswertes von f an einer Stelle x bestimmen aber ich verstehe nicht wie es hier im Buch erklärt wird und im Internet konnte ich auch nichts gutes finden.
Die Funktion f ist übrigens
3 Antworten
Um die entsprechenden Bereiche ermitteln zu können, wo denn nun die Vorzeichen von Zähler und Nenner gleich bzw. verschieden sind, musst Du erst einmal für Zähler und Nenner separat prüfen/berechnen, für welche x-Werte diese positiv bzw. negativ sind.
Dazu berechnest Du f1(x)>0 und f2(x)>0:
f1(x)>0 => x²-x+1>0
Bei quadr. Ungleichungen ist es am einfachsten, wenn man das als Gleichung ausrechnet und dann die Intervalle zwischen den Nullstellen prüft, also:
x²-x+1=0 |pq-Formel
x=1/2 +- Wurzel(1/4 - 1) = 1/2 +- Wurzel(-3/4)
Da der Wert unter der Wurzel negativ ist, gibt es keine Lösung, also keine Nullstellen. Diese Teilfunktion ist eine nach oben offene Parabel, d. h. sie muss komplett über der x-Achse liegen, also sind die Funktionswerte immer positiv.
f2(x)>0 => x-1>0 <=> x>1
d. h. f2 ist größer Null (hat also ein positives Vorzeichen), wenn x>1 ist. Und da f1 immer positiv ist gilt für die Funktionswerte von f (das ist ja f1/f2, also "positiv durch positiv"), dass diese für x>1 auch positiv sind; für x<1 ist f2 negativ, also hast Du bei f1/f2 "positiv durch negativ", also ein negatives Vorzeichen.
Meiner Auffassung nach sollst du gar nicht rechnen, sondern nur die Behauptung begründen. Das ist aber ganz einfach, denn bei jedem ausgerechneten Wert bekommen wir ja im Zähler eine positive oder negative Zahl heraus
und im Nenner auch.
Die Bruchrechnung gehorcht den Vorzeichenregeln bei Division:
Haben die Werte von Zähler und Nenner gleiche Vorzeichen, ist der Wert der ganzen Funktion an der Stelle positiv.
Haben sie verschiedene Vorzeichen, ist der Funktionswert negativ.
Du musst ganz einfach alle nullstellen finden. zwischen den nullstellen gibt es kein vorzeichen wechsel. Du musst also nur einen wert für jedes von nullstellen begrenztes intervall ausrechnen um die vorzeichen zu erhalten