Nullstellen bestimmen: wann kann ich Faktoren einfach wegstreichen?
Also z.B. wenn folgende Funktion gleich Null sein soll: Da hat meine Lehrerin einfach den Nenner weggemacht, indem sie auf beiden Seiten mit dem Nenner multipliziert hat und weil 0 multipliziert mit irgendwas ja null bleibt, hat sie den halt einfach weggestrichen. Bei dem ersten Faktor (im Zähler) hat sie dann die PQ-Formel angewandt und beim zweiten Faktor nochmal x ausgeklammert usw. Ich hätte jetzt aber vorher nochmal den ersten Faktor weggemacht, indem ich auf beiden Seiten gerechnet hätte (also auch einfach weggestrichen sozusagen). Dann hätte ich nur die Nullstellen anhand von bestimmt. Ich hatte dann aber weniger Lösungen für x als meine Lehrerin. Meine Frage ist also: Warum hat meine Lehrerin nur den Nenner weggestrichen und nicht auch den 1. oder 2. Faktor, der im Zähler übrig bleibt? Und woher weiß ich, wie viel ich wegstreichen darf?
6 Antworten
Ein Bruch ist immer dann = 0, wenn der Zähler = 0 ist. Auf den Nennner kommt es bei der Nullstelle also nicht drauf an, weshalb man den durch multiplizieren verschwinden lassen kann, ohne dab ei eine Lösung zu verlieren.
Danach gilt die Produktregel:
Ein Produkt ist genau dann = 0, wenn einer der Faktoren = 0 ist.
Also kann entweder
x^2 - x - 10 = 0
oder
x^2 + 4x = 0 sein.
Die können wir beide getrennt untersuchen.
x^2 - x - 10 = 0
lösen wir mit der pq-Formel:
Nun kommt x^2 + 4x = 0 dran:
Da klammern wir zuerst ein x aus:
x^2 + 4x = x(x + 4)
Hier gilt erneut die Produktregel und wir haben sofort die zwei weiteren Nullstelllen:
x3 = 0
x4 = -4
Also lautet die Lösungsmenge:
𝕃 = {-4; -2,702; 0; 3,702}
...das wäre nach der geschilderten Methode die Lösung. Die ist aber nicht korrekt, denn der Funktionenplotter sagt, bei 0 gibts gar keine Nullstelle.
Die anderen 3 sind allerdings korrekt.
Woran liegt das? Das wegstreichen des Nennners war nicht zulässig.
Man hätte die Funktion auch so schreiben können:
und dann kann man beim Bruch hinten ein x rauskürzen, sodass nur noch übrigbleibt:
..und jetzt darf man mit dem Nennner multiplizieren und es bleibt als Lösung nur noch übrig:
𝕃 = {-4; -2,702; 3,702}
Bei dem Bruch stand bei x = 0 als Bruch 0/0 und das ist unzulässig. Diese unzulässige Division hat sie aber mit dem Mulitplizieren des gesamten nenners unterschlagen. Erst wenn man x rauskürzt, ist die Funktion auch bei x = 0 definiert.
Kannst du mir auch helfen?
nenner weggestrichen weil das zur Nullsetzung nichts bringt. Ein Bruch(Quotient) ist 0 sobald der Zähler 0 ist. Ganz genau hätte sie noch überprüfen müssen ob der Nenner nicht 0 sein kann, denn irgendwas / 0 ist nicht definiert und wäre demnach auch nicht in der Lösungsmenge. Die x die sie rausbekommt am Schluss muss sie also in den Nenner einsetzen und darf hier kein 0 bekommen, dann ists in der Lösungsmenge, ansonsten nicht.
es bleibt also im ersten schritt nur der zähler und dort betrachtet man ein produkt
die regel: ein produkt ist genau dann 0, wenn mind. einer seiner faktoren null ist. du hast also im zähler ein produkt aus 2 faktoren. du setzt jeden faktor einzeln auf 0 und vereinigst die lösungen dann in der lösungsmenge.
warum man einen faktor (den großen) nicht betrachten braucht wie du sagst, verstehe ich nciht. was aber evtl. passieren kann, dass mehrmals der selbe faktor raus kommt, das ist aber ja kein problem. du wirst ja dann in er lösungsmenge jede zahl nur einmal reinschreiben die als lösung kam :-)
Der Bruch wird Null, wenn einer der Faktoren im Zähler Null wird. Also entweder die erste Klammer, oder die zweite Klammer. (Oder beide Klammern)
Da darfst Du natürlich keine der Klammern ignorieren.
Merke:Ein Bruch ist gleich NULL,wenn der Zähler gleich NULL ist.
Satz vom Nullprodukt c=a*b hier c=0 wenn a=0 oder b=0 oder a=b=0
also 0=x²-1*x-10 Nst.: x1=3,7015... und x2=-2,7015..
0=x²+4*x hat die gemischtquadratische Form mit q=0 → 0=x²+p*x Nullstelle bei
x1=0 und x2=-p
p=4 → x2=-(+4)=-4
Kannst du mir auch helfen?
Wenn du durch einen Faktor teilst, muss dieser ungleich Null sein, da durch Null teilen ja nicht geht. Das Ziel ist ja aber genau (wegen dem Satz vom Nullprodukt), dass der Faktor null wird, folglich fallen beim Teilen durch den Faktor genau die Lösungen für x weg, bei denen der Faktor null geworden wäre, denn dass der Faktor Null wird, hat man ja vorher schon ausgeschlossen, sonst hätte man ja gar nicht durch diesesn Faktor teilen dürfen.
Ein Bruch ist gleich NULL,wenn der Zähler gleich NULL ist.
0=x²-1*x-10
0=x²+4*x
Hinweis: a/0 ist nicht definiert ist eine POLSTELLE