Stochastikaufgaben zur Binomialverteilung Korrektur?

Hallo,

ich arbeite gerade an Matheaufgaben zur Binomialverteilung und bin mir bei manchen meiner Rechenansätze nicht so sicher.

Hier erstmal die Aufgabe:

Der Leiter eines Lampengeschäftes möchte zur Eröffnung einer neuen Filiale seinen Kunden als Begrüßungsgeschenk eine LED-Minitaschenlampe überreichen. Er bezieht 1.000 Stück dieser Lampen zum Stückpreis von 0,20 € von einem Hersteller, der angibt, dass 95 % der Lampen einwandfrei funktionieren. Die Lampen wurden in Packungen zu je 40 Stück angeliefert.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass frühestens die neunte Lampe defekt ist.

Ich habe jetzt wie folgt gedacht: wenn frühestens die neunte Lampe defekt ist, dann heißt das, dass alle vorherigen acht Lampen schonmal funktionieren, die neunte dann defekt ist und die zehnte wieder funktionieren kann. Oder, dass die neunte und die zehnte Lampe defekt sind, oder dass nur die zehnte defekt ist. Hier ist meine Rechnung:

$\left(\left(\frac{950}{1000}\right)^8\cdot\left(\frac{50}{1000}\right)\cdot\left(\frac{950}{1000}\right)\right)+\left(\left(\frac{950}{1000}\right)^9\cdot\left(\frac{50}{1000}\right)\right)+\left(\left(\frac{950}{1000}\right)^8\cdot\left(\frac{50}{1000}\right)^2\right)\ =\ 0.065$

Aber ich bin mir da nicht so sicher, weil eine andere Rechnung die ich im Kopf hatte war:

$\left(\frac{950}{1000}\right)^8=\ 0.663$

Hier ist die nächste Aufgabe:

Von den 10 entnommenen Lampen ist genau eine defekt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse.

E:= Die dritte ist die defekte Lampe.

Hier habe ich folgendes gerechnet:

$\left(\frac{950}{1000}\right)^2\cdot\left(\frac{50}{1000}\right)\cdot\left(\frac{950}{1000}\right)^7=0.0315$

F:= Die erste und die zehnte Lampe funktionieren einwandfrei.

Hier habe ich folgendes gerechnet:

$0.0315\cdot8\ =0.252$

Hier ist die nächste Aufgabe:

c) Der Filialleiter rechnet am Eröffnungstag mit 200 Kunden, die eine LED-Minitaschenlampe als Geschenk erhalten sollen. Er beschließt, die restlichen zu verkaufen.

Ermitteln Sie den Verkaufspreis, den er mindestens kalkulieren muss, wenn er jede verkaufte defekte Lampe durch einen 10-€-Gutschein ersetzen und insgesamt keinen Verlust haben möchte.

Ich habe folgendes gerechnet:

$1000-200\ =\ 800$

$\frac{1000}{950}=\frac{800}{x}\ x=760$

$800-760\ =\ 40$

$40\cdot10\ =\ 400$

$760x\ =\ 400\ x\ =\ 0.53$

Er muss eine Taschenlampe für 53 Cent verkaufen.

Könnt ihr hier bitte mal drüberschauen und mich auf Fehler aufmerksam machen?

Answer 1

[Rhenane]

zur ersten Frage: "frühestens die neunte ist defekt" heißt, die ersten 8 müssen alle funktionieren, was danach passiert ist egal, selbst wenn erst die 15. defekt ist. Du musst also nur 0,95^8 ausrechnen (also die andere Rechnung in Deinem Kopf. :) ). Du überlegst, es könnten ja die 9. oder 10. oder beide defekt sein? Aber es ist hier ja nicht nur von 10 Lampen die Rede! Hier werden quasi 8 Lampen gegriffen, die alle funktionieren müssen.

Du brauchst auch nicht immer 950/1000 oder 50/1000 schreiben. Nimm direkt die vorgegebene Wahrscheinlichkeit 95%=0,95 bzw. 5%=0,05 (sonst wirds bei 950 Mio Lampen aus 1 Mrd "etwas" unübersichtlich)

bei den nächsten Fragen hast Du eine andere Situation. Es ist bekannt, dass 1 von 10 defekt ist, d. h. p_defekt=1/10=0,1. Egal wo die Lampe liegt (an welcher Stelle), die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau dort liegt ist immer 1/10.

die 1. und 10. Lampe funktionieren: d. h. die defekte ist eine von Nr. 2 bis Nr. 9. Es gibt also 8 Möglichkeiten; jede hat die Wahrscheinlichkeit 10%, also 8*10%=80%, dass die defekte Lampe zwischen der 1. und. 10. liegt.

letzte Frage:hier kapiere ich Deine 2. Zeile nicht: 1000/950=800/x * x = 760...

Fakt ist: 800 Lampen werden verkauft; davon werden wahrscheinlich 5% defekt sein 800 * 0,05 = 40, d. h. er muss Gutscheine im Wert von 40 * 10 = 400,- Euro rausgeben. Für die 1000 Lampen hat er je Stück 0,2 € bezahlt, also 1000 * 0,2 = 200. Somit hat er 600,- € Kosten. D. h. er muss für die 800 Lampen (die defekten werden ja auch voll bezahlt) mindestens 600,- € einnehmen, also Preis=600/800 = 0,75 €.

Comments

[Pheonix1234]

Achsoo oh okay das mit dem 1/10 habe ich komplett nicht beachtet.

Meine zweite Zeile sollte ausrechnen wie viele von den 800 Lampen funktionieren.

Okay vielen Dank für deine Antwort :)

[Rhenane]

@Pheonix1234

Nunja, genau wie in der letzten Zeile ist nicht zu erkennen, was da passiert und die Gleichheitszeichen sind faktisch falsch!

800/x * x ist 800, somit steht in der 2. Zeile quasi 1000/950=800=760
und unten 760x=400x ist außer für x=0 immer eine falsche Aussage.

[Pheonix1234]

@Rhenane

Ja okay das stimmt, ich habe das unverständlich aufgeschrieben. Das x=0,53 etc. sollte alles eigentlich eine Zeil unter meine Gleichung.

Also 760x = 400

x= 0,53