Verständnisfrage zu komplexen Polynom, Achsensymmetrie zeigen wie? Und Mengendarstellung, inverse Menge wie?

Hey zusammen,

ich habe eine Frage zu den beiden Aufgaben, und zwar, wie zeige ich an, dass die Nullstellen des Polynoms achsensymmetrisch sind?

Und wie bestimme ich die Inverse von der Menge F3(+) und F3(*)?

Answer 1

[MeRoXas]

Zu 2)

_____

Zeige zunächst:

Die Konjugation ist linear, also

$\overline{\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)}=\overline{a+bi}+\overline{c+di}\ \ und\ \overline{\lambda\cdot\left(a+bi\right)}=\lambda\cdot\overline{a+bi}$ mit a, b, c, d und Lambda als reelle Zahlen.

_____

Dann:

Schreibe f als Linearkombination von Potenzen von x, also

$f\left(x\right)=a_1\cdot x^n+a_2\cdot x^{n-1}+...+a_{n-1}\cdot x+a_n$

_____

Zeige nun:

$f\left(z\right)=0\Leftrightarrow\overline{f\left(z\right)}=\overline{0}\ \Leftrightarrow\overline{f\left(z\right)}=0$

_____

Schreibe f(z) dann als

$f\left(z\right)=a_1\cdot z^n+a_2\cdot z^{n-1}+...+a_{n-1}\cdot z+a_n$

Wende nun die Linearität der Konjugation an, um zu zeigen, dass

$\overline{f\left(z\right)}=0\ \Leftrightarrow f\left(\overline{z}\right)=0$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Comments

[NandoMeepMeep]

ok und woher weißt du, dass es genau a b c d und lambda als reelle zahlen sind, und nicht mehr? und wie kommst du auf die funktion f(x)?

[MeRoXas]

@NandoMeepMeep

Jede komplexe Zahl z ist doch darstellbar als z=a+b*i. a und b sind definitionsgemäß reell. Damit natürlich auch c und d.

Lambda ist reell, weil die Konjugation sonst nur noch semi-linear ist. Da für meinen Beweis aber benötigt wird, dass sie linear ist, kann Lambda nur reell sein.

Anmerkung: Dass a, b, c, d und Lambda reell sind, musst du nicht beweisen. Das kannst du wegen den obigen Gründen voraussetzen. Es las sich in der Antwort vielleicht so, als müsstest du das noch beweisen. Dem ist nicht so.

Answer 2

[DerRoll]

Da steht nicht dass die Nullstellen achsensymmetrisch in R sind, sondern dass mit einer Nullstelle auch deren Konjugierte eine Nullstelle ist . Das folgt aus dem Fundamentalsatz der Algebra, den du dir mal bei Wikipedia anschauen solltest.

Hast du die neutralen Elemente für + und * schon bestimmt? Dann suche doch zu jedem Element dasjenige, welches bei der Verknüpfung das neutrale Element erzeugt.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[NandoMeepMeep]

bei + ist das neutrale Element a und bei * ist es b

[DerRoll]

@NandoMeepMeep

Na siehst du. Und jetzt gibst du für jedes a, b, c an welches Element bei + bzw * das neutrale Element erzeugt. Achtung, bei * hat a kein Inverses, das ist wie "durch 0 darf man nicht teilen ".

[NandoMeepMeep]

@DerRoll

danke dir =)