Vektoren: Wie rechne ich die Höhe eines Dreiecks?
Wenn ich jetzt die Punkte A (1/1/3) B (2/1/4) C (2/2/5) habe, wie bekomme ich die Höhe vom Vektor AB? Weil die Fläche ja 1/2ghg ist und ich ich mich nicht drauf verlassen kann, das ich einen 90° Winkel hab.
3 Antworten
Hallo,
zunächst bildest Du den Vektor AB: A+r*(B-A)=
(1/1/3)+r*(1/0/1)
Irgendwo auf dieser Geraden liegt der Lotfußpunkt von C - der Punkt, der sich senkrecht unter C befindet.
Dann gilt: (1/0/1)*[(1/1/3)-(2/2/5)+r(*1/0/1)]=0
Das Vektorprodukt zweier Vektoren wird Null, wenn sie senkrecht aufeinander stehen.
So kommst Du auf die Gleichung:
1*(-1+r)+0*(-1+0*r)+1*(-2+r)=0
-1+r-2+r=0
2r=3
r=1,5
Der Lotfußpunkt H liegt also bei (1/1/3)+1,5*(1/0/1)=(2,5/1/4,5)
Nun brauchst Du noch den Betrag der Strecke HC
(2,5/1/4,5)-(2/2/5)=(0,5/-1/-0,5)
Der Betrag und damit der Abstand von C zu AB ist nun die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten, also die Wurzel aus
(0,5²+(-1)²+(-0,5)²)=Wurzel (1,5)=1,2247 Einheiten.
Für die Flächenberechnung siehe die Antwort von Volens.
Herzliche Grüße,
Willy
Es gibt noch andere Formeln für die Fläche, die für die Vektorrechnung zweckmäßiger sind.
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/flaecheninhalt-eines-dreiecks
Denn vektoriell kommt man auch über zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel dran, den man ja ausrechnen kann.
Ich werde das jetzt nicht im Einzelnen ausführen. Etwas weiter hinten findest du es ausführlich im o.a. Link.
Stichwort: Kreuzprodukt
Den Flächeninhalt kannst du auch über 1/2 * |AB x AC| ausrechnen. Dann löst du die Gleichung nach der Höhe auf und setzt die Fläche und Grundlinie (also |AB|) ein.