Unbestimmtes Integral berechnen?
Für einen Lösungsweg bin ich sehr dankbar.
Meine Lösung (-cos(x)^3*e^(2x))/6 scheint falsch zu sein.
Danke für hilfreiche Antworten.
2 Antworten
Um das unbestimmte Integral von \( f(x) = \sin^2(x) \cdot e^{2x} \) zu lösen, kannst du partielle Integration verwenden. Die partielle Integration nutzt die Produktregel für Integrale und die Ableitung der Produkte von zwei Funktionen, um das Integral zu berechnen.
Die Formel für die partielle Integration lautet:
\(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
Wähle dafür:
\( u = \sin^2(x) \) (differenzierbar)
\( dv = e^{2x} \) (integrierbar)
\( du = 2\sin(x)\cos(x) \, dx \) (Ableitung von \(u\))
\( v = \frac{1}{2}e^{2x} \) (Integration von \(dv\))
Das unbestimmte Integral kann wie folgt berechnet werden:
\(\int \sin^2(x) \cdot e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} \sin^2(x) \cdot e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} \cdot 2\sin(x)\cos(x) \, dx\)
Das zweite Integral auf der rechten Seite kann weiter umgeschrieben werden:
\(= \frac{1}{2} \sin^2(x) \cdot e^{2x} - \int e^{2x} \sin(2x) \, dx\)
Das Integral von \(e^{2x} \sin(2x)\) kann erneut per partieller Integration gelöst werden. Es führt zu einem Ausdruck, der wiederum integriert werden kann.
Leider ist der Lösungsweg recht komplex und erfordert wiederholte Anwendungen der partiellen Integration. Der Schritt-für-Schritt-Prozess hier könnte umfangreich sein. Wenn gewünscht, kann ich versuchen, den Lösungsweg weiter zu skizzieren oder das Endergebnis angeben, sobald die wiederholte partielle Integration durchgeführt wurde.
Nutze die Identität: (sin(x))^2 = 1/2 * (1 - cos(2x)); dann kannst Du mit der Substitution t = 2x leicht partiell integrieren…
Danke dir! Skizze ist nicht nötig, da ich es nun verstanden habe. 😁