Thermdarstellung einer Polynomfunktion aufsuchen?
Hallo! Also ich schreibe am Dienstag einen Mathe-Test und komme bei diesem Beispiel nicht weiter. Die Angabe lautet: Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die 1. Achse bei x=1 und besitzt den Wendepunkt W=(3|-4). Ermittle eine Thermdarstellung der Funktion f! Vielen Dank schon mal im Voraus!
2 Antworten
Hallo,
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
f(1): a+b+c+d=0
f(3): 27a+9b+3c+d=-4
f'(3): 27a+6b+c=0
f''(3): 18a+2b=0 |:2
f''(3): 9a+b=0
Die Punkte (1|0) und (-3|4) sind gegeben und werden in f(x) eingesetzt.
Bei (3|-4) ist eine Wendestelle, also müssen f'(3) und f''(3) gleich Null sein.
So hast Du vier Gleichungen mit vier Unbekannten, die entweder durch Einsetzungsverfahren oder ein anderes gelöst werden:
Aus 9a+b=0 folgt: b=-9a
Dann folgt aus 27a+6b+c=0
27a-54a+c=0
-27a+c=0
c=27a
Aus a+b+c+d=0 folgt:
a-9a+27a+d=0
19a+d=0
d=-19a
Aus 27a+9b+3c+d=-4 folgt
27a-81a+81a-19a=-4
8a=-4
a=-1/2
b=9/2
c=-27/2
d=19/2
f(x)=(-1/2)x³+(9/2)x²-(27/2)x+19/2
Herzliche Grüße,
Willy
Naja, eine Funktion 3. Grades schaut ja so aus:
f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
Nun weißt du, dass es einen Wendepunlt bei (3/-4) gibt.
Also ist zum einen f''(3) = 0 und f(3) = -4, da das ja auch ein Pukt des Graphen ist.
Dass bei x=1 die Achse berührt wird, heißt ja, dass dort ein Maximum anliegt, also ist f'(1) = 0. Gleichzeitig ist auch f(1) = 0, ist ja auch wieder ein ganz normaler Punkt des Graphen.
Wenn du das aufschreibst, hast du 4 Gleichungen. Daraus solltes du alles umstellen und einsetzen können.
So habe ich eh angefangen, aber ich kann irgendwie die Gleichungen nicht auflösen...