Frage von paronda, 27

Thermdarstellung einer Polynomfunktion aufsuchen?

Hallo! Also ich schreibe am Dienstag einen Mathe-Test und komme bei diesem Beispiel nicht weiter. Die Angabe lautet: Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die 1. Achse bei x=1 und besitzt den Wendepunkt W=(3|-4). Ermittle eine Thermdarstellung der Funktion f! Vielen Dank schon mal im Voraus!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 12

Hallo,

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f'(x)=3ax²+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

f(1): a+b+c+d=0

f(3): 27a+9b+3c+d=-4

f'(3): 27a+6b+c=0

f''(3): 18a+2b=0 |:2

f''(3): 9a+b=0

Die Punkte (1|0) und (-3|4) sind gegeben und werden in f(x) eingesetzt.

Bei (3|-4) ist eine Wendestelle, also müssen f'(3) und f''(3) gleich Null sein.

So hast Du vier Gleichungen mit vier Unbekannten, die entweder durch Einsetzungsverfahren oder ein anderes gelöst werden:

Aus 9a+b=0 folgt: b=-9a

Dann folgt aus 27a+6b+c=0

27a-54a+c=0

-27a+c=0

c=27a

Aus a+b+c+d=0 folgt:

a-9a+27a+d=0

19a+d=0

d=-19a

Aus 27a+9b+3c+d=-4 folgt

27a-81a+81a-19a=-4

8a=-4

a=-1/2

b=9/2

c=-27/2

d=19/2

f(x)=(-1/2)x³+(9/2)x²-(27/2)x+19/2

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Volens ,

Stimmt!

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von DeiDei2303, 12

Naja, eine Funktion 3. Grades schaut ja so aus:

f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d

Nun weißt du, dass es einen Wendepunlt bei (3/-4) gibt.
Also ist zum einen f''(3) = 0  und f(3) = -4, da das ja auch ein Pukt des Graphen ist.

Dass bei x=1 die Achse berührt wird, heißt ja, dass dort ein Maximum anliegt, also ist f'(1) = 0. Gleichzeitig ist auch f(1) = 0, ist ja auch wieder ein ganz normaler Punkt des Graphen.

Wenn du das aufschreibst, hast du 4 Gleichungen. Daraus solltes du alles umstellen und einsetzen können.

Kommentar von paronda ,

So habe ich eh angefangen, aber ich kann irgendwie die Gleichungen nicht auflösen...

Kommentar von DeiDei2303 ,

-_- .... dann zeig doch mal, was du hast

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